EX 1:
Voyez le dessin. On marques toutes les angles et sommets et points d'intersections.
Le triangle ABC est isocèles en A, car AB = AC = a. La figure est symétrique par rapport de droit AG passant A, et le bissecteur de l'angle BAC. Donc, AE = AD. EG = GD.
Donc, le triangle AED est isocèle en A. On trace une perpendiculaire issue de A sur BC et ED. AG est le médiatrice des triangles ABC et AED. Les triangle AFB et AGE sont droits.
soit l'angle FBO = y => l'angle BOF = 90 deg - y
Donc, l'angle GOD = l'angle BOF = 90 - y car les angles opposées.
Car le triangle GOD est rectangle au G, l'angle GDO = y. Par symétrie l'angle OFG = y.
CH = FG car BC || ED et FG || CH.
On va calculer la longueur des DG, FG, AF et AG par trigonométrie.
Dans le triangle CHD, DH = CH Tan x/2
Dans le triangle CHE , HE = CH Cot y
Donc, DE = a = DH + HE = CH (Tan x/2 + Cot y)
=> CH = a / [ Tan x/2 + Cot y] --- (1)
Dans le triangle CHE, CH = CE Sin y = a Sin y ---- (2)
Par (1) et (2) , Sin y * [ Tan x/2 + Cot y ] = 1
=> Sin y Tan x/2 = 1 - Sin y Cot y = 1 - Cos y
=> 2 Sin y/2 Cos y/2 Tan x/2 = 2 Sin^2 y/2
=> Tan x/2 = Tan y/2 => x = y car x et y sont les angle aiguës.
===
par (2) , FG = CH = a Sin x
Dans le triangle AFB, AF = a Cos x/2
AG = AF + FG = a [ sin x + Cos x/2 ]
Dans le triangle AEG, AG = EG Cot x/2 = a/2 * Cot x/2
=> Sin x + Cos x/2 = 1/2 * Cot x/2
=> 2 Sin x/2 Cos x/2 + Cos x/2 = 1/2 * Cos x/2 / Sin X/2
=> 4 Sin^2 x/2 + 2 Sin x/2 - 1 =0
Les solutions sont : Sin x/2 = [ racine (5) - 1 ] /2
=> x/2 = 18⁰ => x = 36⁰.
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Ex 2:
N = 99 + 999 + 9999 + 99999 + .... + 9999... 100 chiffres
il y a 99 termes dans la suite.
N = 100 - 1 + 1000 - 1 + 10000 - 1 + .... 10^{100} - 1
= [100 + 1 000 + 10 000 + ... + 10 000 ... cent zeros ] - 99
faire 100 - 99.
N = 1 + [ 1 000 + 10 000 + ... + 10 000 000... 100 fois le chiffre 0 ]
= 1 + 1 000 * [ 1 + 10 + 100 + 1 000 + ... + 10 0000... 97 fois le chiffre 0 ]
dans le dernier nombre il y a 98 chiffres en totales
= 1 + 1000 * [ 11111.... 98 fois le chiffre 1 ]
N = 1 + 111...1111000 , il y a 98 chiffre de 1 et trois zéros.
N = 111...1111001 , il y a 99 chiffres de 1 et 2 chiffres de zéro.
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Ex 9
soit le rayon du quart du cercle grand = R. Il y a deux demi-cercles tel que ils se coupent. Le diamètre des demi cercles est égale au rayon du cercle grand.
le rayon du demi-cercle = R/2.
L'aire d' un demi-cercle = 1/2 * π (R/2)² = π R² / 8
L'aire du quart du cercle grand = pi R² / 4
On marque la zone dans le demi-cercle autre que A1 comme A3. Il y a deux zones de l'Aire 3.
A1 + A2 + 2 * A3 = 1/4 * π R² --- équation 1
A1 + A3 = 1/2 * π (R/2)² = 1/8 * π R² --- équation 2
(1) - (2) => A2 + A3 = 1/8 * π R² -- équation 3
(2) - (3) => A1 - A2 = 0 => l'Aire1 = 'Aire 2.
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On peut faire les calcules, si on a besoin des aires des zones.
ABC est un triangle rectangle en B. Les angle ADB est BDC sont angles inscrit dans demi-cercle. Donc, elles sont angle droits. Donc, ADC est une ligne droite. D est un point au milieu du droit AC, car AD = CD par symétrie. BDC est un triangle rectangle isocèle au D. BD = DC = AD = le rayon de cercle circonscrit du triangle BDC.
Par le théorème de Pythagore, BD = R/√2.
L'aire du triangle BDC = 1/2 BD * DC = R² /4. On soustrait l'aire du triangle BDC de l'aire du demi-cercle, pour obtenir l'aire de la zone A1.
On peut faire la dérivation de l'aire de la zone A1 ou A2 = (pi - 2) R² / 8
et L'aire A3 = R² / 4
