1. le volume du cylindre V = π r² h = 1 litre = 1000 mL ou cc.
h = 1000 / (π r²) en cm, h et r est exprimé en cm.
2. L'aire totale du cylindre = les deux surfaces plats + la surface latérale
= π r² + π r² + 2 π r h = 2 π r² + 2 π r * 1000 / π r²
A = (2 π r² + 2000 / r ) cm² , r en cm.
3.
A (r) = 2 π r² + 2000 / r
A (r) n'est pas définit pour r = 0. Mais sur l'intervalle ] 0 ; ∞ [ , c'est définit, continue, et dérivable. car 2π r² est dérivable et 2000/r est dérivable.
A' (r) = 2 π (r²)' + 2000* (1/r)' = 2π (2r) + 2000 (-1/r²)
= 4 π r - 2000 / r² = [ 4 π r³ - 2000 ] / r²
4)
A' = 0 pour 4 π r³ = 2000
=> r = (500/Ï€)^1/3 cm = 5,419 cm
A' < 0 pour 0 < r < 5,419 cm. Donc, A(r) est décroissante.
> 0 pour 5,419 cm < r < ∞. Donc, A(r) est croissante.
L'aire totale du cylindre est minimum lorsque le rayon est = 5,419 cm
Dans ce cas, h = 1000 / (π r²) = 10,838 cm = 2 r.
On peut faire aussi comme ci-dessous:
L'aire totale est minimum quand 4πr³ = 2000 cc.
Dans ce cas, A(r) = [ 2π r³ + 4πr³ ] / r. Remplace 2000 par 4πr³.
= 6 π r²
6 π r² = 2 π r² + 2 π r h
=> h = 2 r
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5. r = 5,419 cm et h = 10,838 cm - j'ai déjà fait au dessus.
