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Kidrauhpe
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VARIABLES ALÉATOIRES

" On lance une pièce de monnaie de 1euro. Des expériences ont montré qu'on obtient 'face' en moyenne 5,5 fois sur 10 (et donc 'pile' en moyenne 4,5 fois sur 10). On considère la variable aléatoire X qui prend comme valeurs le nombre de 'faces obtenues au cours de n lancers. On voudrait calculer la probabilité que le nombre de 'faces' obtenues sur 100 lancers soit inférieur ou égal à 40. Il faudrait donc calculer : P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + ... + P(X=40)
Comment contourner ces calculs fastidieux? Calculez (en détaillant) une valeur approchée de cette probabilité et dites pourquoi cette approximation ne sera pas en fait trop mauvaise. "

Sagot :

L'idée , ici , est de considérer qu'on a prélevé au hasard un échantillon de 40 lancers dans la population des lancers

C'est trop fastidieux de calculer les probabilités une par une mais cette situation remplit les conditions , on les rappellera , pour utiliser l'intervalle de confiance
On sait alors qu'il y a 95% de chances que p (la probabilité) se trouve dans cet intervalle

Pour utiliser cet intervalle , 3 conditions:
1. n doit être sup ou égal à 30
c'est le cas ici car n=40    n est l'effectif de l'échantillon prélevé
2. np doit être sup ou égal à 5
c'est le cas car n=40 et p=5,5/10 donc np=4 fois 5,5=22
3.(np)(1-p) doit être sup ou égal à 5
c'est le cas : 22(1-0,55)=9,9

Donc on utilise l'intervalle :
Si on est en seconde ici en France c'est : (p-(1/Vn);p+(1/Vn))
p-1/Vn=0,55-(1/V40)=0,392
p+1/Vn=0.55+(1/V40)=0,708
Donc  0.392 < probabilité cherchée < 0.708

Si on est en Terminale ici en France , on a affiné l'intervalle depuis , c'est :
(p-1.96xV(p(1-p)/Vn ; p+1.96xV(p(1-p)/Vn)

0.55-1.96x(V0.2475/V40
0.55-1.96x0.078=0.55-0.154=0.395

0.55+0.154=0.704

donc 0.395 < probabilité cherchée < 0.704

Cet intervalle s'appelle "l'intervalle de fluctuation au seuil de 95%"

J'espère que ça t'aidera:)
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