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Sagot :
exercice 1
a)
f(x) = - x (2 x + 1)
x - ∞ -1/2 0 ∞
-x + + + + 0 - -
2x+1 - - 0 + + + +
f(x) - - 0 + 0 - -
====================================
b) la signe d'un carré (x²) est toujours +.
f(x) = x² / (6 - x)
x -∞ 0 6 ∞
x² + + + + + + +
6-x + + + + 0 - -
1/(6-x) + + + + ? - -
f(x) + + + + ? - -
==============================
exercice 2
f(-5) = 6 f(-3) = 0 f(4) = 0 f(6) = 6
g(-5) = ∞ g(3) = - ∞
===========================
ex 3:
(x-1)² > (3x+2)²
x² - 2 x + 1 > 9 x² + 12 x + 4
8 x² + 14 x + 3 < 0 on trouve les facteurs de 8 * 3 tel que la somme est 14.
8 x² + 12 x + 2 x + 3 < 0
4 x ( 2 x + 3) + 1 ( 2 x +3) < 0
( 4 x + 1 ) ( 2 x + 3) < 0
donc, -3/2 < x < -1/4
==============================
Ex 4
f(x) = 1/(x+1) x ∈ R - { -1 }
l'ensemble des images par f : R
f : R - {-1} --> R
f (x) > 3 => 1/(x+1) > 3,
on la divise en deux parties:
(i) soit x + 1 > 0, donc, on inverse les deux cotes:
=> (x+1) < 1/3
=> x < -2 => x < -2/3
(ii) soit x + 1 < 0, donc x < - 1
1/(x+1) est toujours négatif. donc, f(x) est jamais > 3.
Donc, -1 < x < -2/3
=============================
- 5 <= x < 6
il y a deux parties:
soit x négatif: -5 <= x < 0
x² <= 5² car | x | <= 5 ---(1)
soit x positif:
0 <= x < 6
0² <= x² < 6² => 0 <= x² < 36 --- (2)
donc, par (1) et (2) , 0 <= x² <= 25
==========================
si 0 <= x² <= 10 donc, -√10 <= x <= √10
ou | x | <= √10
======================
Ex 6
f(x) = 2 x² - x x ∈ R
la dérivée f '(x) = 2 * 2x - 1 = 4 x - 1
f '(x) = 0 pour x = 1/4
f '(x) < 0 pour x < 1/4 donc, f est décroissante.
> 0 pour x > 1/4 donc , f est croissante.
======================
g(x) = 3 ( x -1 ) (x + 2)
g '(x) = la dérivée = 3 (x - 1) (x-2)' + 3 (x-1)' (x+2)
= (3 x - 3) + (3 x + 6) = 6 x + 3
car g' (x) est negatif pour x < -3/6 ou -1/2 , g est décroissante.
g est croissante pour x > -1/2 car g' est positif.
a)
f(x) = - x (2 x + 1)
x - ∞ -1/2 0 ∞
-x + + + + 0 - -
2x+1 - - 0 + + + +
f(x) - - 0 + 0 - -
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b) la signe d'un carré (x²) est toujours +.
f(x) = x² / (6 - x)
x -∞ 0 6 ∞
x² + + + + + + +
6-x + + + + 0 - -
1/(6-x) + + + + ? - -
f(x) + + + + ? - -
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exercice 2
f(-5) = 6 f(-3) = 0 f(4) = 0 f(6) = 6
g(-5) = ∞ g(3) = - ∞
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ex 3:
(x-1)² > (3x+2)²
x² - 2 x + 1 > 9 x² + 12 x + 4
8 x² + 14 x + 3 < 0 on trouve les facteurs de 8 * 3 tel que la somme est 14.
8 x² + 12 x + 2 x + 3 < 0
4 x ( 2 x + 3) + 1 ( 2 x +3) < 0
( 4 x + 1 ) ( 2 x + 3) < 0
donc, -3/2 < x < -1/4
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Ex 4
f(x) = 1/(x+1) x ∈ R - { -1 }
l'ensemble des images par f : R
f : R - {-1} --> R
f (x) > 3 => 1/(x+1) > 3,
on la divise en deux parties:
(i) soit x + 1 > 0, donc, on inverse les deux cotes:
=> (x+1) < 1/3
=> x < -2 => x < -2/3
(ii) soit x + 1 < 0, donc x < - 1
1/(x+1) est toujours négatif. donc, f(x) est jamais > 3.
Donc, -1 < x < -2/3
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- 5 <= x < 6
il y a deux parties:
soit x négatif: -5 <= x < 0
x² <= 5² car | x | <= 5 ---(1)
soit x positif:
0 <= x < 6
0² <= x² < 6² => 0 <= x² < 36 --- (2)
donc, par (1) et (2) , 0 <= x² <= 25
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si 0 <= x² <= 10 donc, -√10 <= x <= √10
ou | x | <= √10
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Ex 6
f(x) = 2 x² - x x ∈ R
la dérivée f '(x) = 2 * 2x - 1 = 4 x - 1
f '(x) = 0 pour x = 1/4
f '(x) < 0 pour x < 1/4 donc, f est décroissante.
> 0 pour x > 1/4 donc , f est croissante.
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g(x) = 3 ( x -1 ) (x + 2)
g '(x) = la dérivée = 3 (x - 1) (x-2)' + 3 (x-1)' (x+2)
= (3 x - 3) + (3 x + 6) = 6 x + 3
car g' (x) est negatif pour x < -3/6 ou -1/2 , g est décroissante.
g est croissante pour x > -1/2 car g' est positif.
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