1) ABE est rectangle en B donc AE²=AB²+BE²=10²+x²=100+x²
AME est rectangle en M donc AE²=AM²+ME²=100+x²
Or AM=10 donc ME²=100+x²-AM²=100+x²-100=x²
Donc ME=x
De même, ADF est rectangle en D donc AF²=AD²+DF²=100+y²
AMF est rectangle en M donc AF²=AM²+MF²=100+y²
MF²=AF²-AM²=100+y²-100=y²
Donc MF=y
EF=EM+MF=x+y
2) CEF est rectangle en C donc EF²=CE²+CF²
CE=CB-BE=10-x
CF=CD-DF=10-y
Donc EF²=(10-x)²+(10-y)²=100-2x+x²+100-20y+y²=x²+y²-20x-20y+200
3) EF=x+y donc EF²=x²+2xy+y²
x²+2xy+y²=x²+y²-20x-20y+200
Soit 2xy=200-20x-20y
xy+10y=100-10x (en simplifiant par 2 et en passant -10y de l'autre côté)
y(x+10)=100-10x
Donc y=(100-10x)/(x+10)
EF=x+y=x+(100-10x)/(x+10)=(x(x+10)+100-10x)/(x+10)=(x²+10x+100-10x)/(x+10)
EF=(x²+100)/(x+10)
4)a) f'(x)=(2x(x+10)-(x²+100))/(x+10)²=(2x²+20x-x²-100)/(x+10)²=(x²+20x-100)/(x+10)²
Le signe de f' dépend de x²+20x-100=(x+10)²-200
f'(x)≥0 ⇔ (x+10)²≥200
⇔x+10≥10√2 (on étudie pas x+10≤-10√2 car x≥0)
⇔x≥10√2-10
Donc on a le tableau de variation suivant :
x 0 10(√2-1) 10
f'(x) - +
f(x) décroissant croissant
4b) La valeur minimale de EF est atteinte pour x=10(√2-1)
Soit f(10√2-10)=(100(√2-1)²+100)/(10√2-10+10)=(200-200√2+100+100)/(10√2)
f(10√2-10)=(400-200√2)/10√2=40/√2-20=40√2/2-20=20√2-20
Comme EF=x+y
On en déduit que 20√2-20=10√2-10+y
Soit y=20√2-10√2-20+10=10√2-10=x
Donc BE=DF
