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Bonjour ! J'ai un devoir de mathématiques à rendre la semaine prochaine et après y avoir réfléchis longtemps et essayé plusieurs choses, je me retrouve toujours coincé quelque part. Voici l'exercice :

A exactement 4h51 du matin, Johan voit dans le ciel au dessus de la ville un objet lumineux non identifié qui se déplace à grande vitesse. Soudain, l'objet disparaît et Johan décide de prévenir 5 de ses amis avec son portable : il est 5h00. Au bout d'un quart d'heure, chacune des 5 personnes prevenues communique l'information à 5 nouvelles personnes, et ainsi de suite. On suppose que chaque personne prévenue ne l'est qu'une fois. Soit Un la suite définie par U0=1 et Un le nombre de personnes prévenues au bout de un quart d'heure.

A) Quelle est la nature de Un ? En déduire Un en fonction de n.
B) Exprimer en fonction de n le nombre de personnes "au courant" au bout de n quarts d'heure ?
C) La France compte environ 65 millions de personnes. A quelle heure la nouvelle ne sera plus un secret pour personne ?

Cet exercice fait intervenir le cours sur les suites et sur le logarithme népérien.
J'ai déjà répondu à la question A) :
Chaque quart d'heure, les personnes au courant en préviennent 5 chacune. Donc Un+1 = Un*5
(Un) est donc une suite géométrique de premier terme U0=1 et de raison q=5
Un=Uo*q^n
Un=1*5^n
Un=5^n

Je bloque maintenant à la question B), j'ai essayé plusieurs choses mais je me retrouve à chaque fois dans une impasse pour la question C) et je pense que si je parvenais à faire la question B), la question C) serait simple.
Merci d'avance pour votre aide !

Sagot :

Caylus
Bonjour,

b)
On recherche donc 1+5+5²+5^3+...+5^n

Comme la formule n'est pas connue:
(1+a)(1-a)=1-a²
(1+a+a²)(1-a)= 1+a+a²-a-a²-a^3=1-a^3
(1+a+a²+a^3)(1-a)=1+a+a²+a^3-a-a²-a^3-a^4=1-a^4
(1+a+a²+a^3+...+a^n)(1-a)=1+a+a²+a^3+...+a^n -a-a²-a^3-...-a^(n+1)=1-a^(n+1)
Donc 1+a+a²+a^3+...+a^n=(1-a^(n+1))/(1-a)
et si a=5 alors 1+5+25+125+...+5^n =(1-5^(n+1))/(1-5) =(5^(n+1)-1)/4

c)
(5^(n+1)-1)/4>65 000 000
=>5^(n+1)-1>260 000 000
=>5^(n+1)> 260 000 001
=>(n+1)*ln (5) >ln (260 000 001)
=>n+1 > ln(260 000 001)/ln(5)
=>n > 12.0391-1
=>n> 11.0391
Il faudra donc 11 *1/4 h =2h45min
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