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Bonjour, je dois faire un DM pour ce soir dernier délai, mais je n'ai strictement rien compris, le thème principale est : les suites.

Règle d ujeu : le but du jeu est de déplacer les n disques de la première tour sur la troisième tour en respectant les deux règles suivantes:
— on ne peut déplacer qu’unseul disque à la fois,
— un disque ne doit jamais être placé sur un disque plus petit que lui.
On trouvera un exemple ici http://petitlien.fr/dmsuites ,à regarder en mode diaporama. On désignera par un le nombre minimal de déplacements nécessaires pour résoudre le problème avec n disques.
1. Vérifier que u1=1,u2=3 et u3=7.
2. La suite(un)peut-elle être arithmétique ? Géométrique ?
3. Exprimer un+1 en fonction de un (Expliquer brièvement le raisonnement).
4. Calculer u4, u5 et u6.
5. On définit la suite (vn) pour tout entier n par la relation vn =un+1. Montrer que (vn) est une suite géométrique, puis exprimer vn, puis un,en fonction de n. 6. On suppose qu’il faut 5 secondes pour déplacer un disque. Combien de temps faut-il prévoir pour finir ce jeu avec 30 disques,puis avec 50 disques?(utiliser des unités de temps adaptées)

Merci de m'aider !

Sagot :

2.
 la suite n'est pas arithmétique car [tex]u_3-u_2[/tex] est différent de[tex] u_2-u_1[/tex]
la suite n'est pas géométrique  car[tex] u_3/u_2 [/tex]est différent de[tex] u_2/u_1[/tex]

3.
[tex] u_{n+1}=u_{n}+1+u_{n}[/tex]
explication :
 pour [tex]u_{n+1} [/tex] sachant qu'on a : n+1 disques   dans la première tour
par récurrence on peut déplacer les n disques d'au-dessus  avec u_n façons de la première à la deuxième tour
puis on déplace le dernier disque qui reste encore dans la première tour (qui est le plus grand de tous les disques) à la troisième tour  cela se fait trivialement d'une seul façon ( d’où le 1 dans la formule ci-dessus)
en fin
on déplace les n disques du deuxième tour vers la troisième tour au dessus du grand disque soit de u_n façons
ainsi :
[tex]u_{n+1}=u_{n}+1+u_{n}=2u_{n}+1[/tex]

4. 
[tex]u_4=2u_3+1=1 \\u_5=2u_4+1=31 \\ u_6=2u_5+1=63[/tex]

5.
[tex]v_n=u_n+1[/tex]
[tex]v_{n+1}=u_{n+1}+1=2u_{n}+1+1=2(u_{n}+1)=2v_n[/tex]
v_n est géométrique de raison 2
[tex]v_n=2^{n-1} v_1 \\ avec \\ v_1=u_1+1=2 \\ soit \\ v_n=2^n \\ et \\ u_n=2^n-1[/tex]
6.
pour n=30 il faut  un temps [tex]5U_{30}=5(2^{30}-1)[/tex] (en secondes)
pour n=50 il faut  un temps[tex] 5U_{50}=5(2^{50}-1)[/tex] (en secondes)














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