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Sagot :
[tex]f(x)= \frac{lnx}{x-lnx}= \frac{ \frac{lnx}{x}}{1- \frac{lnx}{x}} [/tex]
Limite en 0 :
On pose X=lnx/x
1/x tend vers +oo quand x tend vers 0
lnx tend vers -oo quand x tend vers 0
Donc X=1/x*lnx tend vers -oo quand x tend vers 0
donc la limite de F en 0 est la limite de X/(1-X) quand X tend vers -oo
Or X/(1-X) équivaut à -X/X en -oo donc X/(1-X) tend vers -1
[tex] \lim_{x \to \ 0} \frac{lnx}{x-lnx}=-1 [/tex]
Limite en +oo
lnx/x tend vers 0 en +oo
Tu peux le démontrer en posant x=e^t
Et la fonction devient t/e^t
On sait que pour t>1 e^t>t et donc ^pour t>2 e^(t/2)>t/2
Soit e^t>t²/4 et e^t/t>t/4 donc e^t>t tend vers +oo en +oo donc t/e^t tend vers 0 en +oo
Donc lnx/x tend bien vers 0 en +oo.
Donc [tex] \lim_{x \to \infty} \frac{lnx}{x-lnx}=0 [/tex]
Limite en 0 :
On pose X=lnx/x
1/x tend vers +oo quand x tend vers 0
lnx tend vers -oo quand x tend vers 0
Donc X=1/x*lnx tend vers -oo quand x tend vers 0
donc la limite de F en 0 est la limite de X/(1-X) quand X tend vers -oo
Or X/(1-X) équivaut à -X/X en -oo donc X/(1-X) tend vers -1
[tex] \lim_{x \to \ 0} \frac{lnx}{x-lnx}=-1 [/tex]
Limite en +oo
lnx/x tend vers 0 en +oo
Tu peux le démontrer en posant x=e^t
Et la fonction devient t/e^t
On sait que pour t>1 e^t>t et donc ^pour t>2 e^(t/2)>t/2
Soit e^t>t²/4 et e^t/t>t/4 donc e^t>t tend vers +oo en +oo donc t/e^t tend vers 0 en +oo
Donc lnx/x tend bien vers 0 en +oo.
Donc [tex] \lim_{x \to \infty} \frac{lnx}{x-lnx}=0 [/tex]
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