Bonjour,
[tex] \\ [/tex]
[tex] \Large{\boxed{\sf \lim_{n \to +\infty} \dfrac{3^{n + 1} }{3 ^{n} + 2 ^{n} } = 3 }} [/tex]
[tex] \\ [/tex]
Nous cherchons à déterminer la limite suivante:
[tex] \sf \lim_{n \to +\infty} \dfrac{3^{n + 1} }{3 ^{n} + 2 ^{n} } [/tex]
Nous allons ici réécrire le numérateur en appliquant la propriété suivante:
[tex] \boxed{\sf x^{a + b} = x^a \times x^b} [/tex]
[tex] \\ [/tex]
On obtient:
[tex] \sf \lim_{n \to +\infty} \dfrac{3^{n + 1} }{3 ^{n} + 2 ^{n} } = \lim_{n \to +\infty} \dfrac{3^n \times 3^1}{3 ^{n} + 2 ^{n} } = \lim_{n \to +\infty} \dfrac{3^n \times 3 }{3 ^{n} + 2 ^{n} } [/tex]
[tex] \\ [/tex]
À présent, factorisons le dénominateur par [tex] \sf 3^n [/tex].
[tex] \sf \lim_{n \to +\infty} \dfrac{3^n \times 3 }{3 ^{n} + 2 ^{n} } = \lim_{n \to +\infty} \dfrac{3^n \times 3 }{3 ^{n} \times 1 + \dfrac{2 ^{n}}{3^n} \times 3^n } = \lim_{n \to +\infty} \dfrac{3^n \times 3 }{3 ^{n} \times (1 + \dfrac{2^n}{3^n})} [/tex]
[tex] \\ [/tex]
Cette expression peut de nouveau être simplifiée à l'aide d'une nouvelle propriété des exposants:
[tex] \boxed{\sf \dfrac{a^n}{b^n} = \left( \dfrac{a}{b} \right)^n \: \: Avec \: b \neq 0. } [/tex]
[tex] \\ [/tex]
En appliquant cette propriété et en simplifiant par [tex] \sf 3^n [/tex], nous obtenons:
[tex] \sf \lim_{n \to +\infty} \dfrac{3^n \times 3 }{3 ^{n} \times (1 + \dfrac{2^n}{3^n})} = \lim_{n \to +\infty} \dfrac{ 3 }{ 1 + \left( \dfrac{2}{3} \right)^n} [/tex]
[tex] \\ [/tex]
On passe à la suite:
[tex] \sf Puisque \: \: 0 < \dfrac{2}{3} < 1, \: alors \: \lim_{n \to +\infty} \left( \dfrac{2}{3} \right)^n = 0 [/tex]
[tex] \\ [/tex]
Notre résultat devient alors:
[tex] \sf \lim_{n \to +\infty} \dfrac{3^{n + 1} }{3 ^{n} + 2 ^{n} } = \lim_{n \to +\infty} \dfrac{3}{1 + 0} [/tex]
[tex] \\ \\ [/tex]
D'où notre résultat final est:
[tex] \boxed{\boxed{\sf \lim_{n \to +\infty} \dfrac{3^{n + 1} }{3 ^{n} + 2 ^{n} } = 3 }} [/tex]
