Partie 2 :
a) Ordonnée de A : 1/(-1/2)=-2
Ordonnée de B : 1/3
Ordonnée de M : 1/m
b) AB a pour coordonnées (3-(-1/2);1/3-(-2)) soit (7/2;7/3)
AB est un vecteur directeur de (AB) de même que tout vecteur colinéaire à AB.
Donc 6/7*AB est un vecteur directeur de (AB)
Or 6/7*AB a pour coordonnées (6/7*7/2;6/7*7/3) soit (3;2)
Donc u(3;2) est un vecteur directeur de (AB)
De même :
BM a pour coordonnées (m-3;1/m-1/3) soit (m-3;(3-m)/3m)
BM est un vecteur directeur de (BM) de même que tout vecteur colinéaire à BM.
Donc -3m/(m-3)*BM est un vecteur directeur de (BM)
Or -3m/(m-3)*BM a pour coordonnées (-3m*(m-3)/m-3);-3m/(m-3)*(3-m)/3m) soit (-3m;1)
Donc v(-3m;1) est un vecteur directeur de (BM)
c) MH est la hauteur issue de M dans ABM donc MH et AB sont perpendiculaires
On en déduit que MH et u sont orthogonaux donc MH.u=0
AH est la hauteur issue de A dans ABM donc AH et BM sont perpendiculaires
On en déduit que AH et v sont orthogonaux donc AH.v=0
MH a pour coordonnes (x-m;y-1/m)
Donc MH.u=(x-m)*3+(y-1/m)*2
Donc 3x-3m+2y-2/m=0
Soit 3x+2y=3m+2/m
AH a pour coordonnées (x+1/2;y+2)
Donc AH.v=(x+1/2)*(-3m)+(y+2)
Donc -3mx-3m/2+y+2=0
Soit -3mx+y=3m/2-2
On a bien le système :
3x+2y=3m+2/m (1)
-3mx+y=3m/2-2 (2)
On multiplie (2) par 2 et on soustrait (1)
3x+2y=3m+2/m (1)
-6mx-3x+2y-2y=3m-4-3m-2/m
Soit x(6m+3)=4+2/m
3x(2m+1)=2(2m+1)/m
Comme m≠-1/2 on simplifie par 2m+1
3x=2/m soit x=2/(3m)
On reporte :
-3m(2/3m)+y=3m/2-2
y=3m/2-2+2=3m/2
Donc H(2/(3m);3m/2)
On voit que y=1/x donc H ∈ C
