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J'ai besoin d'aide pour un dm de Maths pour demain, je n'y arrive pas du tout..

Soit f la fonction définie sur R par f(x)=x²+3x
1. Montrer que l'on peut choisir le réel m pour que la droite (D) d'équation y=x+m coupe la courbe de f en un point A unique. Quelle est alors l'abscisse de A?
2. Démontrer alors que (D) est tangente à la courbe de f au point A.
3. Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 2.
4. Soit (?) la droite ont un vecteur directeur est
u (2 et passant par B (2; |p+1|) où p est un réel.
|p+1| )

a) Déterminer une équation cartésienne de (?) en fonction de p.
b) Existe-t-il une valeur de p pour laquelle (?) est parallèle à l'axe des abscisses? Si oui préciser toutes les valeurs de p possibles.
c) Existe-t-il une valeur de p pour laquelle (?) est parallèle à (D) ? Si oui préciser toutes les valeurs de p possibles.

Sagot :

1) On résout l'équation f(x)=x+m
Soit x²+3x=x+m
⇔x²+3x-x-m=0
⇔x²+2x-m=0
Δ=2²+4m=4+4m=4(m+1)
On aura une solution unique à cette équation si Δ=0
Soit si m=-1
D : y=x-1
On a donc x²+3x=x-1
Soit x²+2x+1=0  ⇔ (x+1)²=0 ⇔ x=-1
L'abscisse de A est x=-1

2) L'équation de la tangente à la courbe de f en A est y=f'(-1)(x+1)+f(-1)
f(-1)=(-1)²+3(-1)=1-3=-2
f'(x)=2x+3 donc f'(-1)=-2+3=1
Donc y=(x+1)-2=x-1
Donc D est tangente à la courbe de f en A(-1;-2)

3) y=f'(2)(x-2)+f(2)
f'(2)=7 et f(2)=10
Donc l'équation de la tangente à la courbe de f en 2 est : y=7(x-2)+10=7x-4

4a) Le coefficient directeur de (?) est Ip+1I/2
(?) est donc de la forme y=Ip+1I/2*x+b
Elle passe par B donc Ip+1I=Ip+1I/2*2+b donc b=0
(?) : y=Ip+1I/2*x
4b) Si p=-1, y=0 et (?) est // à l'axe des abscisses.
4c) Pour D et (?) soit parallèles il faut qu'elle ait même coefficient directeur.
Soit Ip+1I=1
Si p+1>0 alors Ip+1I=p+1
Donc p+1=1 ⇔ p=0
Si Ip+1I<0 alors Ip+1I=-p-1
Donc -p-1=1 ⇔ p=-2
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