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Sagot :
On a f(x)=2x+3
f2(x)=2(2x+3)+3=4x+9
f3(3)=f(f2(x))=2(4x+9)+3=8x+21
et ainsi de suite
fn+1(x)=2(fn(x))+3
Si on pose fn(x)=Un*x+Vn
On a fn+1(x)=Un+1*x+Vn+1=2(Un*x+Vn)+3=2Un*x+2Vn+3
On en déduit que Un+1=2Un et Vn+1=2Vn+3
Un est géométrique de raison 2 et de premier terme U1=2
Donc Un=2*2^(n-1)=2^n
Pour Vn c'est un peu plus compliqué. On sait que V1=3
Posons Wn=Vn+3 et démontrons que Wn est géométrique :
Wn+1=Vn+1+3=2Vn+3+3=2Vn+6=2(Vn+3)=2Wn
Donc Wn+1/Wn=2 : Wn est géométrique de raison 2 et de premier terme W1=V1+3=6
Donc Wn=6*2^(n-1)=3*2*2^(n-1)=3*2^n
On a donc Vn+3=3*2^n soit Vn=3*2^n-3=3(2^n-1)
Donc fn(x)=2^n*x+3(2^n-1)
Avec ça tu peux calculer fn à n'importe quel rang.
f2(x)=2(2x+3)+3=4x+9
f3(3)=f(f2(x))=2(4x+9)+3=8x+21
et ainsi de suite
fn+1(x)=2(fn(x))+3
Si on pose fn(x)=Un*x+Vn
On a fn+1(x)=Un+1*x+Vn+1=2(Un*x+Vn)+3=2Un*x+2Vn+3
On en déduit que Un+1=2Un et Vn+1=2Vn+3
Un est géométrique de raison 2 et de premier terme U1=2
Donc Un=2*2^(n-1)=2^n
Pour Vn c'est un peu plus compliqué. On sait que V1=3
Posons Wn=Vn+3 et démontrons que Wn est géométrique :
Wn+1=Vn+1+3=2Vn+3+3=2Vn+6=2(Vn+3)=2Wn
Donc Wn+1/Wn=2 : Wn est géométrique de raison 2 et de premier terme W1=V1+3=6
Donc Wn=6*2^(n-1)=3*2*2^(n-1)=3*2^n
On a donc Vn+3=3*2^n soit Vn=3*2^n-3=3(2^n-1)
Donc fn(x)=2^n*x+3(2^n-1)
Avec ça tu peux calculer fn à n'importe quel rang.
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