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Sagot :
1) h'(x)=2e^(2x)+4xe^(2x)
Donc h'-2h-2(e^2x-1)=2e^(2x)+4xe^(2x)-4xe^(2x)-2-2e^(2x)+2=0
Donc h est bien solution de (E)
2a) y=z+h est solution de (E)
⇔(z+h)'-2(z+h)-2(e^(2x)-1)=0
⇔z'+h'-2z-2h-2(e^(2x)-1)=0
⇔z'-2z+(h'-2h-2(e^(2x)-1))=0
⇔z'-2z=0 car h est solution de E
2b) (E') est une équation différentielle linéaire d'ordre 1 à coefficients constants sans second membre. Donc les solutions de (E') sont les fonction ke^2x où k est une constante quelconque.
On en déduit que les solutions de (E) sont les fonctions ke^(2x)+h
Soit f(x)=ke^(2x)+2xe^(2x)+1
3) f(0)=0 soit k+1=0 donc k=-1
Donc f(x)=-e^(2x)+2xe^(2x)+1
Donc h'-2h-2(e^2x-1)=2e^(2x)+4xe^(2x)-4xe^(2x)-2-2e^(2x)+2=0
Donc h est bien solution de (E)
2a) y=z+h est solution de (E)
⇔(z+h)'-2(z+h)-2(e^(2x)-1)=0
⇔z'+h'-2z-2h-2(e^(2x)-1)=0
⇔z'-2z+(h'-2h-2(e^(2x)-1))=0
⇔z'-2z=0 car h est solution de E
2b) (E') est une équation différentielle linéaire d'ordre 1 à coefficients constants sans second membre. Donc les solutions de (E') sont les fonction ke^2x où k est une constante quelconque.
On en déduit que les solutions de (E) sont les fonctions ke^(2x)+h
Soit f(x)=ke^(2x)+2xe^(2x)+1
3) f(0)=0 soit k+1=0 donc k=-1
Donc f(x)=-e^(2x)+2xe^(2x)+1
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