Exercice 1
a) La droite (PC) forme un angle droit avec la droite (AC) donc le triangle APC est rectangle en C et son hypoténuse est AP.
On sait que dans un triangle rectangle :
sin angle = coté opposé à l'angle / hypoténuse
donc
sin 4° = PC/AP
calcul intermédiaire : PC = 1180 - 700 = 480
sin 4° = 480/AP
d'où
AP = 480/sin 4°
AP = 6881 m (arrondie au mètre près)
Le cycliste a parcouru 6881 m
b) Le triangle EPS est rectangle en E et son hypoténuse est PS.
On sait que dans un triangle rectangle :
sin angle = coté opposé à l'angle / hypoténuse
donc
sin EPS = PS/ES
calcul intermédiaire : PS = 1500 - 1180 = 320
sin EPS = 320/3000
d'après la calculatrice EPS = 6° (arrondie au degrè près)
c) Le triangle BDS est rectangle en D.
On sait que dans un triangle rectangle :
tan angle = coté opposé à l'angle /coté adjacent
donc
tan 83° = BD/DS
calcul intermédiaire : DS = 1500 - 700 = 800
tan 83° = BD/800
d'où
BD = 800 x tan 83°
BD = 6515 m (arrondie au mètre près)
d) Le triangle BDS est rectangle en D. d'après le théorème de Pythagore :
SB² = SD² + BD²
SB² = 800² + 6515²
SB² = 640000 + 42445225 = 43085225
d'ou SB = V(43085225)
SB = 6564 m (arrondie au mètre près)
Exercice 2
1) volume d'un pavé = Longueur x largeur x hauteur
V = AB * AD * DH (* signifie multiplié par)
V = 80 * 40 * 50
V = 160000 cm³
1 L = 1000 cm³
donc 160000 cm³= 160000/1000 = 160 L
2) a) Au minimum, il n'y a pas d'eau alors MH = 0 cm
Au maximum, l'aquarium est plein jusqu'en haut alors MH = 50 cm
Donc l'encadrement de x est :
0 < x < 50
b) V = AB * AD * DH
V = 80 * 40 * x
V = 3200 x cm³
V = 3200/100 * x = 3.2x L
3) voir schéma joint
4) Réponse en rouge sur le schéma
a) Si la hauteur d'eau est 35 cm alors le volume est de 80 L
b) Si l'aquarium contient 112 L d'eau alors la hauteur est de 35 cm.
5) 1 m3 = 1000 L
0.28 m3 = 0.28 * 1000 = 280 L
280 L coule en 1 heure = 60 min
112 L coule en 60*112/280 = 6*112/28 = 3*112/14 = 3*8 = 24 min
Il faut 24 min pour remplir l'aquarium.
Exercice 3
On pose le coté du carré = x
A1 = x*x = x²
Le coté du carré augmenté de 3 cm est :
A2 = (x+3)²
or A2 = 4x²
donc (x+3)² = 4x²
(x+3)²-4x² = 0
(x+3)² - (2x)² = 0
On reconnait une identité remarquable de la forme a²-b² = (a-b)(a+b) avec a = x+3 et b = 2x
donc
(x+3 -2x) (x+3 +2x) = 0
(3-x)(3x+3) = 0
le produit de 2 termes est égal à 0 si l'un des termes = 0 donc
3-x = ou 3x+3 = 0
-x = -3 ou 3x = -3
x = 3 ou x = -3/3
x = 3 ou x = -1
La mesure du coté d'un carré est toujours positive donc -1 ne convient pas donc x = 3.
La longueur du carré de départ est 3 cm.
