FRstudy.me facilite l'obtention de réponses détaillées à vos questions. Obtenez des réponses précises et bien informées de la part de notre communauté d'experts prêts à aider.
Sagot :
La concentration du médicament dans le sang, en g/L, x heures après la nième injection est modélisée par la fonction fn définie sur l’intervalle ]0 ; 7] par : f n (x) = 2/x - In x / x^n
Les observations ont conduit à observer que le traitement est efficace après la nième injection si les trois conditions suivantes sont vérifiées :
(1) fn (2) > 0,65 ;
(2) fn est strictement positive sur l’intervalle ]0 ; 7] ;
(3) la concentration moyenne en g/L du médicament dans le sang entre la 1ère et la 7ème heure lors de la nième injection est strictement supérieure à 0,6.
On rappelle ici que la valeur moyenne d’une fonction f sur un segment [a ; b] est égale à 1/b-a ∫ b a f (x) dx
Dans cet exercice, on teste l’efficacité de ce traitement après une seule injection puis après 3 injections successives.
Partie A : Efficacité du traitement après une seule injection
1. La fonction f1 vérifie-t-elle la condition (1) ?
f n (x) = 2/x - In x / x^n
f 1 (x) = 2/x - ln (x) /x^1 = 2/x - ln(x)/x
(1) fn (2) > 0,65 ;
f1(2) > 0,65 <=> 2/2 - ln(2)/2 > 0,65 <=>ln(2) > 2,9 <=> 2 > e^2,9 donc f1 vérifie pas la 1ère condition
2. Etudier le signe de f1 sur ]0 ; 7]. Que peut-on en déduire?
f1'(x) = 2(-1/x²) - [ (1/x)x - ln(x) (1) ] /x² = -2/x² - (1-ln(x) )/x² = (-3-ln(x))/x²
f1'(x) > 0 <=> -3-ln(x) > 0 <=> ln(x) > 3 <=> x > e^3 à peu près 26
Soit f1 décroissante sur ]0;7]
3. Calculer intégral 7 1 f1 (x)dx
2/x - ln(x)/x = 2(1/x) - (1/x)(ln x) = (2 (lnx) )' - (ln²(x))/2)'
4. La condition (3) est-elle vérifiée ?
----------- Je vais manger, je continue après, ça me fait un bon exo :) ------
5. Est-il nécessaire de poursuivre les injections pour que le traitement soit efficace ?
Partie B : Efficacité du traitement après 3 injections successives
Le plan est muni d’un repère orthonormé.
Dans cette partie, les coordonnées des points ont été arrondies au centième.
Le graphique ci-dessous représente la courbe Γ d’une fonction F3 définie et dérivable sur ]0 ; 7] qui admet la fonction f3 comme fonction dérivée sur ]0 ; 7].
La courbe Γ passe par les points A (1 ; 0,25), B (2 ; 1,54) et C (7 ; 3,92).
On désigne par Δ la tangente à Γ au point B ; cette tangente passe par le point D de coordonnées (5 ; 4,28).
a) Que représente la fonction F3 pour la fonction f3 ?
b) Déterminer par lecture graphique le signe de la fonction f3.
D’après les informations données sur la courbe Γ, la fonction f3 vérifie-t-elle la condition (2) ?
a) Déterminer l’équation réduite de la droite Δ.
b) En déduire f3 (2).
c) f3 vérifie-t-elle la condition (1) ?
a) Déterminer une valeur approchée à 10 ^-2 de l’intégrale ∫7 1 f3 (x)
b) La condition (3) est-elle vérifiée ?
Que penser de l’efficacité du traitement après 3 injections ?
Les observations ont conduit à observer que le traitement est efficace après la nième injection si les trois conditions suivantes sont vérifiées :
(1) fn (2) > 0,65 ;
(2) fn est strictement positive sur l’intervalle ]0 ; 7] ;
(3) la concentration moyenne en g/L du médicament dans le sang entre la 1ère et la 7ème heure lors de la nième injection est strictement supérieure à 0,6.
On rappelle ici que la valeur moyenne d’une fonction f sur un segment [a ; b] est égale à 1/b-a ∫ b a f (x) dx
Dans cet exercice, on teste l’efficacité de ce traitement après une seule injection puis après 3 injections successives.
Partie A : Efficacité du traitement après une seule injection
1. La fonction f1 vérifie-t-elle la condition (1) ?
f n (x) = 2/x - In x / x^n
f 1 (x) = 2/x - ln (x) /x^1 = 2/x - ln(x)/x
(1) fn (2) > 0,65 ;
f1(2) > 0,65 <=> 2/2 - ln(2)/2 > 0,65 <=>ln(2) > 2,9 <=> 2 > e^2,9 donc f1 vérifie pas la 1ère condition
2. Etudier le signe de f1 sur ]0 ; 7]. Que peut-on en déduire?
f1'(x) = 2(-1/x²) - [ (1/x)x - ln(x) (1) ] /x² = -2/x² - (1-ln(x) )/x² = (-3-ln(x))/x²
f1'(x) > 0 <=> -3-ln(x) > 0 <=> ln(x) > 3 <=> x > e^3 à peu près 26
Soit f1 décroissante sur ]0;7]
3. Calculer intégral 7 1 f1 (x)dx
2/x - ln(x)/x = 2(1/x) - (1/x)(ln x) = (2 (lnx) )' - (ln²(x))/2)'
4. La condition (3) est-elle vérifiée ?
----------- Je vais manger, je continue après, ça me fait un bon exo :) ------
5. Est-il nécessaire de poursuivre les injections pour que le traitement soit efficace ?
Partie B : Efficacité du traitement après 3 injections successives
Le plan est muni d’un repère orthonormé.
Dans cette partie, les coordonnées des points ont été arrondies au centième.
Le graphique ci-dessous représente la courbe Γ d’une fonction F3 définie et dérivable sur ]0 ; 7] qui admet la fonction f3 comme fonction dérivée sur ]0 ; 7].
La courbe Γ passe par les points A (1 ; 0,25), B (2 ; 1,54) et C (7 ; 3,92).
On désigne par Δ la tangente à Γ au point B ; cette tangente passe par le point D de coordonnées (5 ; 4,28).
a) Que représente la fonction F3 pour la fonction f3 ?
b) Déterminer par lecture graphique le signe de la fonction f3.
D’après les informations données sur la courbe Γ, la fonction f3 vérifie-t-elle la condition (2) ?
a) Déterminer l’équation réduite de la droite Δ.
b) En déduire f3 (2).
c) f3 vérifie-t-elle la condition (1) ?
a) Déterminer une valeur approchée à 10 ^-2 de l’intégrale ∫7 1 f3 (x)
b) La condition (3) est-elle vérifiée ?
Que penser de l’efficacité du traitement après 3 injections ?
Merci d'utiliser cette plateforme pour partager et apprendre. Continuez à poser des questions et à répondre. Nous apprécions chaque contribution que vous faites. Merci d'avoir choisi FRstudy.me. Nous espérons vous revoir bientôt pour plus de solutions.
