Bonjour,
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, un triangle est rectangle si son hypoténuse au carré est égale à la somme des carrés de ses deux autres côtés.
On a donc d'un côté :
hyp² = AC² = (5x + 10)²
On développe grâce à l'identité remarquable : (a + b)² = a² + 2ab + b²
(5x + 10)² = (5x)² + 2 × 5x × 10 + 10²
= 25x² + 100x + 100
Et de l'autre côté :
c² + c² = AB² + BC² = (3x + 6)² + (4x + 8)²
On développe de la même façon :
(3x + 6)² + (4x + 8)²
= (3x)² + 2 × 3x × 6 + 6² + (4x)² + 2 × 4x × 8 + 8²
= 9x² + 36x + 36 + 16x² + 64x + 64
= 25x² + 100x + 100
On obtient bien le même résultat aux deux calculs donc dans le triangle ABC, le carré de l'hypoténuse est effectivement égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors d'après la réciproque du théorème de Pythagore, ABC est rectangle quelle que soit la valeur de x.
