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soit ABC. On désigne par A', B' et C' les milieux respectifs de [BC] ,[CA] , [AB]. Soit I un point quelconque du plan.
1) construire les points E et F définis par IE(vecteur)=CC' (vecteur) et IF(vecteur). Exprimer en fonction de AB (vecteur) et AC(vecteur) les vecteurs IE (vecteur) , IF(vecteur) , EF(vecteur).
En déduire que (EF)//(AA').
2) soit J le milieu de [EF].Demontrer qu'il existe un réel k tel que:
IJ(vecteur)=k BC(vecteur)

que peut-on dire de (IJ) et (BC) ?

Sagot :

Miloudperso77

Réponse:

Pour répondre à votre question, voici les étapes pour construire les points E et F et exprimer les vecteurs IE, IF et EF en fonction des vecteurs AB et AC :

1) Construction des points E et F :

- Tracez les segments [BC], [CA] et [AB].

- Tracez les droites parallèles à [BC] passant respectivement par les points A', B' et C'. Ces droites sont les milieux des côtés du triangle ABC.

- Trouvez le point d'intersection I entre la droite passant par A' et parallèle à [BC] et la droite passant par C' et parallèle à [AB]. Ce point I est le point donné dans l'énoncé.

- Tracez les vecteurs IE et IF en partant du point I et en les déplaçant respectivement de la même longueur que le vecteur CC' et le vecteur CF.

2) Expression des vecteurs IE, IF et EF en fonction des vecteurs AB et AC :

- Le vecteur IE est égal au vecteur CC', qui est égal à la moitié du vecteur AC. Donc, IE = 1/2 * AC.

- Le vecteur IF est égal au vecteur CF, qui est égal à la moitié du vecteur AB. Donc, IF = 1/2 * AB.

- Le vecteur EF est égal à la différence entre les vecteurs IF et IE. Donc, EF = IF - IE = 1/2 * AB - 1/2 * AC = 1/2 * (AB - AC).

En utilisant ces expressions, nous pouvons maintenant démontrer que (EF) est parallèle à (AA') :

- Le vecteur EF est égal à 1/2 * (AB - AC).

- Le vecteur AA' est égal à AB - AC.

- Donc, EF = 1/2 * (AB - AC) = 1/2 * AA'.

- Comme EF est égal à la moitié de AA', cela signifie que les vecteurs EF et AA' sont colinéaires, donc (EF) est parallèle à (AA').

Maintenant, passons à la deuxième partie de la question :

3) Démonstration de l'existence d'un réel k tel que IJ = k * BC :

- Le point J est le milieu du segment [EF], donc J = (E + F)/2.

- Le vecteur IJ est égal à J - I.

- Le vecteur BC est égal à C - B.

- Nous devons montrer qu'il existe un réel k tel que IJ = k * BC.

Pour cela, nous pouvons exprimer les vecteurs IJ et BC en fonction des vecteurs AB et AC :

- Le vecteur IJ est égal à (E + F)/2 - I.

- Le vecteur BC est égal à C - B.

En utilisant les expressions précédentes des vecteurs EF, IE et IF, nous pouvons simplifier les expressions de IJ et BC :

- Le vecteur IJ = (E + F)/2 - I = (1/2 * (AB - AC) + 1/2 * AB) - I = 1/2 * (2 * AB - AC) - I = AB - 1/2 * AC - I.

- Le vecteur BC = C - B = -AC.

Maintenant, nous pouvons écrire l'équation IJ = k * BC :

AB - 1/2 * AC - I = k * (-AC).

En réarrangeant cette équation, nous obtenons :

AB + k * AC = I - 1/2 * AC.

Cette équation montre que le vecteur I - 1/2 * AC est une combinaison linéaire des vecteurs AB et AC. Donc, I est situé sur la droite (IJ) et cette droite est parallèle à la droite (BC).

En conclusion, nous avons démontré que (EF) est parallèle à (AA') et que la droite (IJ) est parallèle à la droite (BC).

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