Réponse:
1. Pour vérifier que \( \frac{DE}{AB} = \frac{DF}{AC} \), nous devons utiliser le théorème de Thalès. Selon ce théorème, si une droite est tracée parallèlement à un côté d'un triangle et qu'elle intersecte les deux autres côtés, alors les longueurs des segments formés sont proportionnelles.
Dans ce cas, la droite \( EF \) est tracée parallèlement à la base \( BC \) du triangle \( ABC \) et elle intersecte les côtés \( AB \) et \( AC \) aux points \( E \) et \( F \) respectivement. Donc, selon le théorème de Thalès, nous avons :
\frac{DE}{AB} = \frac{DF}{AC}
2. a. Pour démontrer que les triangles \( AE'F' \) et \( DEF \) sont égaux, nous devons montrer que leurs côtés correspondants sont égaux en longueur.
Nous avons \( AE' = DE \) et \( AF' = DF \) par construction. De plus, nous avons \( E'F' = EF \) car les deux segments sont parallèles et ont la même longueur. Donc, les côtés correspondants des deux triangles sont égaux en longueur, ce qui prouve que les triangles \( AE'F' \) et \( DEF \) sont égaux.
b. Pour démontrer que les droites \( E'F' \) et \( BC \) sont parallèles, nous devons montrer que les angles correspondants sont égaux.
Puisque les triangles \( AE'F' \) et \( DEF \) sont égaux, cela signifie que les angles \( \angle AE'F' \) et \( \angle DEF \) sont égaux. De plus, les angles \( \angle AE'F' \) et \( \angle ABC \) sont tous deux des angles alternes-internes par rapport aux droites parallèles \( E'F' \) et \( BC \). Donc, les angles correspondants sont égaux, ce qui prouve que les droites \( E'F' \) et \( BC \) sont parallèles.
c. Les triangles \( ABC \) et \( DEF \) sont semblables car ils ont des angles correspondants égaux. En effet, les angles \( \angle BAC \) et \( \angle EDF \) sont égaux car ce sont des angles opposés par le sommet. De plus, les angles \( \angle ABC \) et \( \angle DEF \) sont égaux car ce sont des angles alternes-internes par rapport aux droites parallèles \( E'F' \) et \( BC \).
Donc, les triangles \( ABC \) et \( DEF \) sont semblables par le critère d'angle-angle (AA).
