👤
Lucasblat33
Answered

FRstudy.me offre une plateforme collaborative pour trouver des réponses. Notre communauté est prête à fournir des réponses détaillées et fiables, que vos questions soient simples ou complexes.


Bonjours j’aurai besoin d’aide pour ces exercices s’il vous plaît

Exercice 2 - On considère les suites (an) et (bn) définies par :
ao = 0,1
bo = 1
et, pour tout entier naturel n,
an+1 = e^-bn
bn+1 = e^-an

1. Calculer a, et by. On donnera un résultat arrondi à 10-² près.

2. On rappelle que la fonction x → e^-x est décroissante sur R.

(a) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 0 < an ≤ an+1 ≤ bn+1 ≤ bn ≤ 1

(b) En déduire que les suites (an) et (bn) convergent. On ne demande pas leur limite.

Exercice 3: Soit (un) une suite telle que pour tout entier naturel n, 0≤ un ≤ (1/2)^n. Montrer que la suite
(un) converge et déterminer sa limite.

Sagot :

Leannemajchrzak50

Réponse:

Je vais essayer de t'aider avec cet exercice :

Exercice 2 :

1. Pour calculer a et b, on va utiliser les formules récursives fournies :

- a₀ = 0,1 (on a donné la valeur initiale de a)

- b₀ = 1 (on a donné la valeur initiale de b)

En utilisant ces valeurs, on peut itérer les formules pour trouver les valeurs suivantes :

a₁ = e^-b₀ = e^-1

b₁ = e^-a₀ = e^-0,1

a₂ = e^-b₁ = e^-(e^-0,1)

b₂ = e^-a₁ = e^-(e^-1)

On peut continuer ce processus aussi longtemps que nécessaire pour obtenir des valeurs plus précises.

2. (a) Pour montrer par récurrence que 0 < an ≤ an+1 ≤ bn+1 ≤ bn ≤ 1, on va utiliser les formules récursives précédentes :

- Pour n = 0, on a 0 < a₀ = 0,1 ≤ a₁ = e^-1 ≤ b₁ = e^-0,1 ≤ b₀ = 1.

- Nous allons maintenant supposer que l'inégalité est vraie pour un certain n, c'est-à-dire 0 < an ≤ an+1 ≤ bn+1 ≤ bn ≤ 1. Nous devons prouver que cela est vrai pour n + 1 également.

aₙ₊₁ = e^-bn ≤ e^-an = bn+1 (utilisation de l'hypothèse de récurrence)

bn+₁ = e^-an+₁ ≤ e^-an ≤ an+1 (utilisation de l'hypothèse de récurrence)

Donc, nous avons prouvé que l'inégalité est vraie pour n + 1 également.

- Par conséquent, l'inégalité est vraie pour tout entier naturel n.

(b) Pour montrer que les suites (an) et (bn) convergent, on peut utiliser le fait que l'inégalité 0 < an ≤ an+1 ≤ bn+1 ≤ bn ≤ 1 est vérifiée pour tout n. Cette inégalité signifie que les suites sont bornées entre 0 et 1.

Exercice 3 :

Pour montrer que la suite (un) converge et déterminer sa limite, on va utiliser la condition donnée : 0 ≤ un ≤ (1/2)^n.

On peut voir que la suite un est décroissante puisque (1/2)^n est une exponentielle décroissante tandis que 0 ≤ un ≤ (1/2)^n.

La suite un est également minorée par 0 et majorée par (1/2)^n, ce qui signifie qu'elle est bornée.

En utilisant le théorème de la limite monotone, on peut conclure que la suite (un) converge. Cependant, nous devons déterminer sa limite.

On peut voir que la suite un est une suite géométrique décroissante avec un = (1/2)^n. Par conséquent, sa limite est 0.

J'espère que j'ai pu t'aider avec ces exercices !

Votre engagement est essentiel pour nous. Continuez à partager vos expériences et vos connaissances. Créons ensemble une communauté d'apprentissage dynamique et enrichissante. FRstudy.me est votre partenaire pour des solutions efficaces. Merci de votre visite et à très bientôt.