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Sagot :
Réponse:
La démonstration par récurrence consiste à montrer qu'une proposition est vraie pour toutes les valeurs d'une variable entière en établissant deux choses :
1. **Initialisation :** Montrer que la proposition est vraie pour la première valeur de la variable (généralement la plus petite).
2. **Hérédité :** Montrer que si la proposition est vraie pour une valeur donnée, alors elle l'est aussi pour la valeur suivante.
**Proposition :** Avec n bits, on peut représenter 2^n informations.
**Démonstration par récurrence :**
**Initialisation (n = 1) :**
Avec 1 bit, on peut représenter 2^1 = 2 informations (0 ou 1). Donc, la proposition est vraie pour n = 1.
**Hérédité :**
Supposons que la proposition soit vraie pour n = k, c'est-à-dire qu'avec k bits, on peut représenter 2^k informations.
Maintenant, considérons n = k + 1 bits. Chaque bit peut avoir deux valeurs (0 ou 1). Donc, le nombre total d'informations que l'on peut représenter avec k + 1 bits est le double du nombre d'informations que l'on peut représenter avec k bits. Cela signifie qu'avec k + 1 bits, on peut représenter 2 * 2^k = 2^(k+1) informations.
Ainsi, si la proposition est vraie pour n = k, elle est également vraie pour n = k + 1.
Par conséquent, par le principe de récurrence mathématique, la proposition est vraie pour toutes les valeurs de n.
Cette démonstration confirme que le nombre d'informations que l'on peut représenter double chaque fois que le nombre de bits augmente d'une unité, établissant ainsi que la proposition est vraie pour toutes les valeurs de n.
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