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35 ABC est un triangle équilatéral, de côté AB = 2, et M est un point du segment [BC). On pose BM = x. Soit fla fonction définie sur [0; 2) par f(x) = AM. 1. A partir de considérations géométriques, faire une conjecture sur le sens de variation de la fonction fet la valeur de son minimum. 2. a) Calculer fr) en fonction de x. b) Compléter le tableau suivant et en déduire un tracé point par point de la courbe représentative de la fonc- tion f. 0 0,2 0,5 0,8 1 1,2 1,5 1,8 2 f(x) 3. a) Démontrer que, pour tous nombres réels distincts u etv de [0; 2), fu) - fv) et (u – v)(u + v − 2) ont le - même signe. b) En déduire le sens de variation de la fonction f sur [0:1] et [1; 2]. c) Dresser le tableau de variation de la fonction fet retrouver les résultats conjecturés dans la question 1.​

Sagot :

Mbm212206

bonjour

1. À partir de considérations géométriques, on peut conjecturer que la fonction f(x) est strictement décroissante sur [0, 2) et atteint son minimum lorsque x = 2.

Le point M se déplace sur le segment [BC] et AM représente la distance entre ce point et le sommet A du triangle. Lorsque M se rapproche de B, la distance AM augmente, donc la fonction f(x) décroît. Lorsque M atteint le point B, AM atteint sa valeur maximale, qui est égale au côté du triangle, soit 2. Donc le minimum de f(x) est atteint lorsque x = 2.

2. a) Pour calculer f(x), nous devons utiliser le fait que ABC est un triangle équilatéral. La hauteur d'un triangle équilatéral divise le triangle en deux triangles rectangles, donc nous pouvons appliquer le théorème de Pythagore.

Dans le triangle AMB, on a AB = 2 (donné) et BM = x (donné). On cherche AM.

En utilisant le théorème de Pythagore, on a :

AM² = AB² - BM²

AM² = 2² - x²

AM² = 4 - x²

AM = √(4 - x²)

Donc f(x) = √(4 - x²).

b) Complétons le tableau :

x | 0 | 0.2 | 0.5 | 0.8 | 1 | 1.2 | 1.5 | 1.8 | 2

f(x) | 2 | 1.96 | 1.87 | 1.6 | 1 | 0.8 | 0.87 | 1.6 | 2

Tracé point par point de la courbe représentative de la fonction f :

La courbe commence avec un sommet à (0, 2), puis descend progressivement jusqu'à atteindre le minimum à (2, 1), et remonte ensuite jusqu'au sommet à (0, 2).

3. a) Pour démontrer que (u - v)(u + v - 2) et fu) - fv) ont le même signe, nous pouvons effectuer une analyse de cas.

Cas 1 : Si u > v, alors u - v > 0. De plus, u + v - 2 est également positif car u et v sont tous deux dans l'intervalle [0, 2). Donc (u - v)(u + v - 2) > 0.

Cas 2 : Si u < v, alors u - v < 0. De plus, u + v - 2 est également négatif car u et v sont tous deux dans l'intervalle [0, 2). Donc (u - v)(u + v - 2) > 0.

Donc, dans les deux cas, (u - v)(u + v - 2) et fu) - fv) ont le même signe.

b) En déduire le sens de variation de la fonction f sur [0, 1] et [1, 2] :

Sur [0, 1], nous avons prouvé que (u - v)(u + v - 2) et fu) -

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