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Niamaennil902
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4. Que 22 Soient ABC un triangle, A' et B' deux points définis par: AB = KAB, AC =(1-k)AC (kER) et I milieu du segment [B'C']. 1-k : AÏ = ¹ - ¹ AC + / AB. 1. Montrer que: AÌ = 2. Soit A' un point tel que I est le milieu de [AA], mo crer que BA = (1-k) BC Montrer que: A+ kIB + (1 - k)IĆ = 0.​

Sagot :

Mbm212206

bonjour

D'après les données de l'énoncé, on a:

AB = kAB' (1)

AC = (1-k)AC' (2)

I est le milieu du segment [B'C'] (3)

1. Montrons que A'I = 2.

D'après le théorème de la médiane dans le triangle B'AC', on a :

A'I² = (AB')² + (AC')² - 2(AB')*(AC')*cos(B'AC') (4)

Or, d'après les équations (1) et (2), on a :

AB' = AB/k

AC' = AC/(1-k)

En substituant ces valeurs dans l'équation (4), on obtient :

A'I² = (AB/k)² + (AC/(1-k))² - 2(AB/k)*(AC/(1-k))*cos(B'AC')

Simplifions cette expression :

A'I² = (AB)²/k² + (AC)²/(1-k)² - 2(AB)*(AC)/(k*(1-k))*cos(B'AC')

De plus, d'après la relation trigonométrique dans le triangle ABC, on a :

cos(B'AC') = cos(BAC) = cos(BAC')

En substituant cette valeur dans l'expression précédente, on obtient :

A'I² = (AB)²/k² + (AC)²/(1-k)² - 2(AB)*(AC)/(k*(1-k))*cos(BAC)

Or, d'après la relation trigonométrique cos(BAC) = -cos(BAC'), on peut réécrire l'expression précédente :

A'I² = (AB)²/k² + (AC)²/(1-k)² + 2(AB)*(AC)/(k*(1-k))*cos(BAC')

En utilisant les équations (1) et (2), on peut simplifier davantage :

A'I² = (AB)²/k² + (AC)²/(1-k)² + 2(AB)*(AC)/(k*(1-k))*cos(BAC')

= (AB)²/k² + (AC)²/(1-k)² - 2(AB)*(AC)/(k*(1-k))*cos(BAC)

= (AB)²/k² + (AC)²/(1-k)² - 2(AB)*(AC)/(k*(1-k))*(-cos(BAC'))

= (AB)²/k² + (AC)²/(1-k)² + 2(AB)*(AC)/(k*(1-k))*cos(BAC')

On remarque que les termes en cos(BAC') se simplifient, et finalement on obtient :

A'I² = (AB)²/k² + (AC)²/(1-k)² + 2(AB)*(AC)/(k*(1-k))*cos(BAC')

= (AB)²/k² + (AC)²/(1-k)² + 2(AB)*(AC)/(k*(1-k))*cos(B'AC')

= (AB)²/k² + (AC)²/(1-k)² + 2(AB)*(AC)/(k*(1-k))*cos(B'AC')

= (AB)²/k² + (AC)²/(1-k)² + 2(AB)*(AC)/(k*(1-k))

= (AB)²/k² + (AC)²/(1-k)² + 2(AB)

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