Spé maths première
DEMO
98 [Raisonner.] p. 128

Soient deux fonctions u et v définies et
dérivables sur un intervalle I de R et k un réel.
On considère les fonctions f et g définies sur I par
f(x) = u(x) xv(x) et g(x)= kxu(x).
1. À l'aide du taux de variation, démontrer que la
fonction f est dérivable sur I de dérivée f' définie
par f'(x)=u'(x) xv(x) + u(x) xv'(x).
2. En déduire que la fonction g est dérivable sur I de
dérivée g' définie par g'(x) = kxu'(x).
3. a. En utilisant le résultat démontré à la question 1.,
déterminer la dérivée des fonctions u² et u³.
b. Conjecturer ce que pourrait être la dérivée de la
fonction u" où n est un entier naturel supérieur ou
égal à 2. On ne demande pas de le démontrer.