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Bonjour je rencontre des difficultés pour cette exercice pourriez-vous m'aider svp ?

1. Montrer que, pour tout
x ∈]0 ; +∞[ :
ln(1+x)−x⩽0.

2. Montrer que, pour tout
x ∈]0 ; +∞[ :
ln(1+x)−x + x^2/2⩾0.

3. Montrer que, pour tout
x ∈]0 ; +∞[ :
x− (x^2)/2 ⩽ln(1+x)⩽x.

4. En déduire lim ln(1+x)/x
x→0
x>0

Sagot :

Astucedebord

1. Pour montrer que ln(1+x) - x ≤ 0, nous pouvons utiliser la dérivée de la fonction ln(1+x). La dérivée de ln(1+x) est 1/(1+x). Si nous évaluons cette dérivée pour x > 0, nous obtenons toujours une valeur positive. Donc, la fonction ln(1+x) est croissante pour x > 0. En utilisant cette information et le fait que ln(1+0) - 0 = 0, nous pouvons conclure que ln(1+x) - x ≤ 0 pour tout x ∈ ]0 ; +∞[.

2. Pour montrer que ln(1+x) - x + x^2/2 ≥ 0, nous pouvons utiliser une expansion en série de Taylor. L'expansion de ln(1+x) autour de x = 0 est ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - ... En gardant seulement les deux premiers termes, nous obtenons ln(1+x) - x + x^2/2 ≥ 0 pour tout x ∈ ]0 ; +∞[.

3. Pour montrer que x - (x^2)/2 ≤ ln(1+x) ≤ x, nous pouvons utiliser une combinaison des résultats des questions précédentes. Puisque ln(1+x) - x ≤ 0 et ln(1+x) - x + x^2/2 ≥ 0, nous pouvons conclure que x - (x^2)/2 ≤ ln(1+x) ≤ x pour tout x ∈ ]0 ; +∞[.

4. En utilisant le résultat de la question précédente, nous pouvons dire que la limite de ln(1+x)/x lorsque x tend vers 0 pour x > 0 est égale à 1. Cela signifie que lorsque x approche de 0, le quotient ln(1+x)/x se rapproche de 1.
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