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Nombres pentagonaux On construit une succession de pentagones emboités P₁, P2, P3, P4 comme ci-dessous. Les nombres de points de chaque figure sont appelés nombres pentagonaux. On nommera u, le n-ième nombre pentagonal. u₁ = 1 u₂ = 5 4₂ = 12
1.a. Combien y a-t-il de points sur un côté de P,,? b. En déduire que un+1 = un + 3n+1 4₁ = 22
2. On pose U = Un+1 - Un
a. Exprimer v en fonction de n.
b. En admettant que 1 +2 +3 + ... + (n - 1) = "(n-¹), démontrer que 2 3n²-n-2 V₁ + V₂ + + U₁-1 = 2
c. Exprimer Un-1 +...U₂+U₁ en fonction de un et en déduire l'expression de u,, en fonction de n. d. Calculer alors u100
