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Étude d'une fonction
Partie A.
Étude d'une fonction auxiliaire Soit g la fonction définie sur]0; +∞ par :
g(x) = x + 2 - xln(x).
1. Etudier les limites de g aux bornes de son ensemble de définition.
2. Étudier les variations de g sur 0; +∞ et dresser son tableau de variation.
3. Démontrer que l'équation g(x) = 0 admet une unique solution a dans l'intervalle 0; +infini. En déduire le signe de g(x) sur 0; + ∞
Partie B.
Étude d'une fonction f Soit fla fonction définie sur 0; +∞ par : f(x) = ln(x)/2+ x et soit C sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
1. Montrer que, pour tout x > 0, f' (x) = g(x)/(x(2 + x))
2. En utilisant l'égalité g (a) = 0, prouver que f(a) = 1/a
3. Étudier les limites de faux bornes de son ensemble de définition.
4. Dresser le tableau de variation de f sur 0; + ∞
5. Donner un encadrement de a d'amplitude 10 puissance -2
Question que je me pose en plus sur l’exercice:
(Avec la calculatrice je vois que la fonction g change de convexité en x=1, elle devient décroissante à partir de ce rang. Mais pour retrouver ce résultat par calcul, il faut dire que 2 est négligeable et donc le remplacer par 1 mais je ne vois pas en quoi le 1 est moins négligées le que le 2… comment justifier ce changement ?)
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