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Une entreprise fabrique des composants électroniques. Si x désigne le nombre de composants fabriquer, le coût de la fabrication en euros de ces x composants est C(x) = 2000+100x -0,01x² .

1)a) Quelle est en euros le coût de 1000 composants? De 1001 composants ?
b) En déduire l'augmentation du coût entraîné par la fabrication du composant supplémentaire.

2)a) Exprimer en fonction de x le coût de fabrication C(x+1) de x + 1 composants.
b)Calculer la différence C(x + 1 )-C(x), c'est-à-dire l'augmentation du coût correspondant à la fabrication d'un composant supplémentaire sachant qu on en a fabriqué x. Cette différence est appelée " coût marginal au rang x".

3) Calculer C' (x) où C' désigne la fonction dérivée de C.

4)Dans la pratique on prend C'(x) comme valeur du coût marginal au rang x.

a)Quelle est l'erreur commise?
b)Vérifier ce résultat en comparant C'(1000) avec la réponse trouver au 1)b).

Celui qui répond à tout cela a le droit à mon respect.


Un gros merci d'avance. ;-)

Sagot :

Bonsoir Fgjgghj

1) a) C(1000) = 2000+100 * 1000 - 0,01 * 1000²
        C(1000) = 92 000

C(1001) = 2000+100 * 1001 - 0,01 * 1001²
C(1000) = 92 079,99

D'où 1000 composants coûtent 92 000 € et 1001 composants coûtent 92079,99 €.

b) C(1001) - C(1000) = 92 079,99 - 92 000 
    C(1001) - C(1000) = 79,99

D'où l'augmentation du coût entraîné par la fabrication du composant supplémentaire est égale à 79,99 €.

2) a) C(x+1) = 2000 + 100(x+1) - 0,01(x+1)²

C(x+1) - C(x) = [2000 + 100(x+1) - 0,01(x+1)²] - [2000 + 100x - 0,01x²]
= [2000 + 100x+100 - 0,01(x²+ 2x + 1)] - [2000 + 100x - 0,01x²]
= [2000 + 100x+100 - 0,01x² - 0,02x - 0,01] - [2000 + 100x - 0,01x²]
= 2000 + 100x+100 - 0,01x² - 0,02x - 0.01 - 2000 - 100x + 0,01x²
= 2000  - 2000 + 100x - 100x - 0,01x² + 0,01x² + 100 - 0,01 - 0,02x
= 99,99 - 0,02x.

C(x+1) - C(x) = 99,99 - 0,02x.

3) C'(x) = (2000 + 100x - 0,01x²)'
= 2000' + (100x)' - (0,01x²)'
= 0 + 100 - 0,02x
= 100 - 0,02x

C'(x) = 100 - 0,02x

4) a) C'(x) - [C(x+1) - C(x)] = (100 - 0,02x) - (99,99 - 0,02x)
                                       = 100 - 0,02x - 99,99 + 0,02x
                                       = 0,01.

L'erreur commise en prenant C'(x) comme valeur du coût marginal au rang x est égale à 0,01.

b) C'(1000) = 100 - 0,02 * 1000
                 = 100 - 20 
                 = 80.

Par ce calcul, l'augmentation du coût entraîné par la fabrication du composant supplémentaire au 1000ème composant serait égale à 80 €.

Nous avions calculé dans la question 1) b), que cette augmentation était égale à 79,99 €.

L'erreur est égale à 80 € - 79,99 € = 0,01 €

L'erreur est donc identique suivant les deux méthodes de calculs.

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