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Réponse:
Bien sûr, je vais vous guider dans la résolution de cette équation différentielle linéaire du second ordre avec des conditions initiales.
L'équation différentielle donnée est :
\[ y'' + 2y' + 5y = 5 \]
1. Trouvons d'abord la solution générale de l'équation homogène associée (l'équation sans le terme indépendant) :
\[ y'' + 2y' + 5y = 0 \]
La solution caractéristique associée à cette équation est donnée par l'équation caractéristique \(r^2 + 2r + 5 = 0\). Vous pouvez résoudre cette équation quadratique pour trouver les racines.
2. Les solutions de l'équation caractéristique sont de la forme \(r = -1 \pm 2i\), où \(i\) est l'unité imaginaire.
3. La solution générale de l'équation homogène est \(y_h(t) = e^{-t}(A\cos(2t) + B\sin(2t))\), où \(A\) et \(B\) sont des constantes à déterminer.
4. Maintenant, trouvons une solution particulière de l'équation complète \(y'' + 2y' + 5y = 5\). Une solution particulière peut être une constante, essayons \(y_p(t) = C\).
5. En substituant cette solution particulière dans l'équation, vous pouvez trouver la valeur de \(C\).
6. La solution générale de l'équation complète est la somme de la solution générale de l'équation homogène et de la solution particulière.
7. Appliquez les conditions initiales \(y(0) = 0\) et \(y'(0) = 0\) pour déterminer les constantes \(A\), \(B\), et \(C\).
Cela devrait vous permettre de résoudre l'équation différentielle avec les conditions initiales données. N'hésitez pas à poser des questions si quelque chose n'est pas clair.
