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Réponse :
Bien sûr, je serais ravi de vous aider avec cet exercice de géométrie vectorielle. Pour démontrer que le point D appartient à la droite (AC), nous devons montrer que le vecteur
�
�
⃗
AD
est un multiple du vecteur
�
�
⃗
AC
.
Explications étape par étape :
Soit
�
�
⃗
=
3
�
�
⃗
−
2
�
�
⃗
BD
=3
BA
−2
BC
. Nous pouvons réarranger cette équation pour isoler
�
�
⃗
BA
d'un côté:
�
�
⃗
=
1
3
�
�
⃗
+
2
3
�
�
⃗
BA
=
3
1
BD
+
3
2
BC
Maintenant, nous pouvons exprimer
�
�
⃗
AD
en termes de
�
�
⃗
BA
et
�
�
⃗
AC
:
�
�
⃗
=
�
�
⃗
+
�
�
⃗
AD
=
AB
+
BD
Substituons l'expression pour
�
�
⃗
BA
que nous avons trouvée précédemment:
�
�
⃗
=
�
�
⃗
+
1
3
�
�
⃗
+
2
3
�
�
⃗
AD
=
AB
+
3
1
BD
+
3
2
BC
Maintenant, exprimons
�
�
⃗
AC
en termes de
�
�
⃗
AB
et
�
�
⃗
BC
:
�
�
⃗
=
�
�
⃗
+
�
�
⃗
AC
=
AB
+
BC
Maintenant, nous pouvons soustraire
�
�
⃗
AB
de chaque côté de l'équation
�
�
⃗
AD
et
�
�
⃗
AC
:
�
�
⃗
−
�
�
⃗
=
1
3
�
�
⃗
+
2
3
�
�
⃗
AD
−
AB
=
3
1
BD
+
3
2
BC
�
�
⃗
−
�
�
⃗
=
�
�
⃗
AC
−
AB
=
BC
Maintenant, nous pouvons voir que
�
�
⃗
−
�
�
⃗
AD
−
AB
et
�
�
⃗
−
�
�
⃗
AC
−
AB
ont le même terme
�
�
⃗
BC
. Cela suggère que
�
�
⃗
−
�
�
⃗
AD
−
AB
est un multiple de
�
�
⃗
−
�
�
⃗
AC
−
AB
, ce qui signifie que les points D, A, et C sont alignés sur une droite.