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Magnitude d'un séisme
Modéliser, communiquer
San Francisco après le séisme de 1906
On donne ci-dessous, les effets des séismes en fonction
de leur magnitude, tels que les a mis en place Richter.
• Moins de 2: micro-tremblement de terre, non ressenti.
De 2 à 2,9: généralement non ressenti, mais détecté
par les sismographes.
De 3 à 3,9: souvent ressenti, mais causant très peu
de dommages.
De 4 à 4,9: objets secoués à l'intérieur des maisons,
bruits de chocs, dommages importants.
De 5 à 5,9: dommages majeurs sur des édifices mal
conçus dans des zones meubles; légers dommages
sur les édifices bien construits.
De 6 à 6,9: destructions dans des zones jusqu'à
180 kilomètres de l'épicentre.
De 7 à 7,9: dommages sévères dans des zones plus
vastes.
De 8 à 8,9: dommages sérieux dans des zones à des
centaines de kilomètres de l'épicentre.
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9 et plus : dommages très sérieux dans des zones à
des centaines de kilomètres de l'épicentre.
On appelle magnitude sur l'échelle de Richter, que l'on
note M, le nombre défini par :
2 In(E)
________ =-2,88,
3 In (10)
où E est l'énergie sismique exprimée en joules et In la
fonction logarithme népérien.
Au début du xx siècle, les tremblements de terre sont
classifiés selon les dégâts qu'ils occasionnent. Cette
classification est alors très subjective et peu précise.
Le sismologue américain Charles Francis Richter (1900-
1985), décide d'améliorer ces échelles et crée en 1935
l'échelle qui portera son nom.
L'échelle de Richter va de 0 à plus de 9. Dans la pratique,
les séismes de magnitude 9 ou plus sont exceptionnels.
Les dommages importants commencent à partir de la
magnitude 5.
M =
1. a. Quelle est l'énergie E d'un séisme classé 2 sur
l'échelle de Richter? Donner le résultat en mégajoule,
arrondi à l'unité.
b. Quelle est l'énergie E d'un séisme classé 5 sur
l'échelle de Richter? Donner le résultat en mégajoule
arrondi à l'unité.
c. Quelle est l'énergie E d'un séisme classé 8 sur
l'échelle de Richter? Donner le résultat en mégajoule
arrondi à l'unité.
2. On lit sur les explications données par Richter: << Une
différence d'une unité de magnitude correspond à
environ 30 fois plus d'énergie libérée ».
a. Pour vérifier cette affirmation, on note E l'énergie
correspondant à une magnitude M.
Montrer que si on note E' l'énergie nécessaire au séisme
pour avoir une magnitude M +1, alors In ()
b. En déduire la confirmation de l'affirmation de Richter.
3. Déduire de la question précédente qu'un séisme de
magnitude 7 est 900 fois plus puissant qu'un séisme
de magnitude 5.

56 Magnitude Dun Séisme Modéliser Communiquer San Francisco Après Le Séisme De 1906 On Donne Cidessous Les Effets Des Séismes En Fonction De Leur Magnitude Tels class=

Sagot :

Liza82

Explications étape par étape:

a. Pour calculer l'énergie E d'un séisme classé 2 sur l'échelle de Richter, on utilise la formule donnée :

\[ M = \frac{2}{3} \cdot \log_{10}\left(\frac{E}{1 \text{ joule}}\right) - 2.88 \]

En substituant M = 2 dans cette équation, on peut résoudre pour E :

\[ \frac{2}{3} \cdot \log_{10}\left(\frac{E}{1 \text{ joule}}\right) - 2.88 = 2 \]

En résolvant cette équation, on trouve que \( E \approx 158.49 \) joules. Converti en mégajoules (MJ), cela donne environ 0.158 MJ.

b. De manière similaire, pour un séisme classé 5 sur l'échelle de Richter, on résout l'équation pour E avec M = 5 :

\[ \frac{2}{3} \cdot \log_{10}\left(\frac{E}{1 \text{ joule}}\right) - 2.88 = 5 \]

En résolvant cette équation, on trouve que \( E \approx 3162277 \) joules. Converti en mégajoules, cela donne environ 3162 MJ.

c. Pour un séisme classé 8 sur l'échelle de Richter, en utilisant la même méthode, on trouve que \( E \approx 1.584 \times 10^{10} \) joules. Converti en mégajoules, cela donne environ 15840 MJ.

2. L'affirmation de Richter est que \( \frac{E'}{E} \approx 30 \) lorsque la magnitude augmente d'une unité. Nous pouvons écrire ceci comme :

\[ \frac{2}{3} \cdot \log_{10}\left(\frac{E'}{1 \text{ joule}}\right) - 2.88 = \frac{2}{3} \cdot \log_{10}\left(\frac{E}{1 \text{ joule}}\right) - 2.88 + 1 \]

En simplifiant, on obtient :

\[ \frac{2}{3} \cdot \log_{10}\left(\frac{E'}{1 \text{ joule}}\right) = \frac{2}{3} \cdot \log_{10}\left(\frac{E}{1 \text{ joule}}\right) + 1 \]

En appliquant \( \log_{10}(a) + 1 = \log_{10}(10 \cdot a) \), on a :

\[ \log_{10}\left(\frac{E'}{1 \text{ joule}}\right) = \log_{10}\left(10 \cdot \frac{E}{1 \text{ joule}}\right) \]

Cela confirme que \( \frac{E'}{E} = 10 \), ce qui est équivalent à \( E' \approx 10 \cdot E \). Ainsi, une différence d'une unité de magnitude correspond à environ 10 fois plus d'énergie libérée.

3. En utilisant la relation \( \frac{E'}{E} = 10 \) pour une différence d'une unité de magnitude, nous pouvons calculer la puissance relative entre un séisme de magnitude 7 et un séisme de magnitude 5 :

\[ \left(\frac{E'}{E}\right)^2 = 10^2 = 100 \]

Donc, un séisme de magnitude 7 est 100 fois plus puissant qu'un séisme de magnitude 5. En extrapolant, un séisme de magnitude 7 est \( 10 \times 100 = 1000 \) fois plus puissant qu'un séisme de magnitude 5.

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