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Réponse:
Pour déterminer les coordonnées du point \( M \) dans chaque cas, nous allons utiliser les coordonnées des points \( A \), \( B \), et \( C \), supposant qu'ils sont donnés.
Soit \( A(x_1, y_1) \), \( B(x_2, y_2) \), et \( C(x_3, y_3) \).
a. \( 2 \cdot \vec{AM} = \vec{CA} \):
\[ M(x_m, y_m) = \frac{1}{3} \left(2x_1 + x_3, 2y_1 + y_3\right) \]
b. \( 3 \cdot \vec{MA} = \vec{CB} + \vec{AB} \):
\[ M(x_m, y_m) = \frac{1}{4} \left(3x_1 + x_2 + x_3, 3y_1 + y_2 + y_3\right) \]
c. \( \vec{AM} + 2 \cdot \vec{BC} = 0 \):
\[ M(x_m, y_m) = \left(-2x_2 + x_3, -2y_2 + y_3\right) \]
d. \( \vec{AM} = 2 \cdot \vec{CM} \):
\[ M(x_m, y_m) = \left(\frac{2}{3}x_3, \frac{2}{3}y_3\right) \]
e. \( 2 \cdot \vec{AM} + \vec{CM} = \vec{AB} \):
\[ M(x_m, y_m) = \left(\frac{2}{5}x_1 + \frac{3}{5}x_3, \frac{2}{5}y_1 + \frac{3}{5}y_3\right) \]
f. \( \vec{AM} - 3 \cdot \vec{CM} = \vec{CB} \):
\[ M(x_m, y_m) = \left(\frac{1}{4}x_1 - \frac{3}{4}x_3, \frac{1}{4}y_1 - \frac{3}{4}y_3\right) \]
Assurez-vous de remplacer les coordonnées de \( A \), \( B \), et \( C \) par leurs valeurs spécifiques pour obtenir les coordonnées du point \( M \) dans chaque cas.