Réponse :
Explications étape par étape :
Exercice 1:
(a) Pour factoriser l'expression E(x) = (9x² - 4) + (5x - 2)(3x + 2) - (3x + 2)², nous allons procéder étape par étape :
Factoriser le premier terme : (9x² - 4) = (3x)² - 2² = (3x - 2)(3x + 2).
Factoriser le deuxième terme : (5x - 2)(3x + 2) = 5x(3x + 2) - 2(3x + 2) = (15x² + 10x) - (6x + 4) = 15x² + 10x - 6x - 4 = 15x² + 4x - 4.
Factoriser le troisième terme : (3x + 2)² = (3x + 2)(3x + 2) = (3x)² + 2(3x) + 2(3x) + 2² = 9x² + 6x + 6x + 4 = 9x² + 12x + 4.
Maintenant, nous pouvons réécrire l'expression E(x) :
E(x) = (3x - 2)(3x + 2) + (15x² + 4x - 4) - (9x² + 12x + 4).
(b) Maintenant, pour trouver les solutions réelles de l'équation (9x² - 4) + (5x+3)(3x+2) = (3x + 2)² = 0, nous allons résoudre cette équation étape par étape :
Simplifions l'expression : (9x² - 4) + (5x+3)(3x+2) - (3x + 2)² = 0.
En utilisant la factorisation de l'expression E(x) obtenue dans la question précédente, nous pouvons réécrire l'équation :
[(3x - 2)(3x + 2) + (15x² + 4x - 4) - (9x² + 12x + 4)] = 0.
Simplifier l'expression :
[(9x² - 4) + (15x² + 4x - 4) - (9x² + 12x + 4)] = 0.
En simplifiant, nous obtenons :
15x² + 4x - 4 - 9x² - 12x - 4 = 0.
Regroupons les termes similaires :
(15x² - 9x²) + (4x - 12x) + (-4 - 4) = 0.
6x² - 8x - 8 = 0.
Pour résoudre cette équation quadratique, nous pouvons utiliser la méthode du discriminant. Le discriminant d'une équation quadratique de la forme ax² + bx + c = 0 est donné par Δ = b² - 4ac.
Dans notre cas, a = 6, b = -8 et c = -8. Calculons le discriminant :
Δ = (-8)² - 4(6)(-8) = 64 + 192 = 256.
Maintenant, calculons les solutions de l'équation en utilisant la formule quadratique : x = (-b ± √Δ) / (2a).
x = (-(-8) ± √256) / (2(6)) = (8 ± 16) / 12.
x₁ = (8 + 16) / 12 = 24 / 12 = 2.
x₂ = (8 - 16) / 12 = -8 / 12 = -2/3.
Donc, les solutions réelles de l'équation sont x = 2 et x = -2/3.
Exercice 2:
Pour écrire les nombres rationnels donnés sous forme avec a et b comme des entiers naturels, nous allons procéder comme suit :
x = 7,522222222..... peut être écrit sous la forme d'une fraction en utilisant la méthode des fractions infinies. Supposons que la partie répétitive soit de n chiffres après la virgule. Dans ce cas, nous multiplions x par 10^n pour éliminer les décimales répétitives :
10^n * x = 75,2222222..... (équation 1).
Maintenant, nous soustrayons l'équation 1 de l'équation originale pour éliminer les décimales répétitives :
10^n * x - x = 75,2222222..... - 7,522222222.....
Simplifiant cette équation, nous obtenons :
(10^n - 1) * x = 67,7.
Maintenant, nous pouvons isoler x en divisant les deux côtés de l'équation par (10^n - 1) :
x = 67,7 / (10^n - 1).
Donc, x peut être écrit sous la forme d'une fraction comme suit :
x = 67,7 / (10^n - 1).
y = 5,13222222....222.... peut également être écrit sous forme d'une fraction en utilisant la méthode des fractions infinies. Supposons que la partie répétitive soit de n chiffres après la virgule. Dans ce cas, nous multiplions y par 10^n pour éliminer les décimales répétitives :
10^n * y = 51,3222222..... (équation 2).
Maintenant, nous soustrayons l'équation 2 de l'équation originale pour éliminer les décimales répétitives :
10^n * y - y = 51,3222222..... - 5,13222222.....
Simplifiant cette équation, nous obtenons :
(10^n - 1) * y = 46,19.
Maintenant, nous pouvons isoler y en divisant les deux côtés de l'équation par (10^n - 1) :
y = 46,19 / (10^n - 1).
Donc, y peut être écrit sous la forme d'une fraction comme suit :
y = 46,19 / (10^n - 1).
Cependant, veuillez noter que les valeurs exactes de x et y dépendent de la valeur de n et ne peuvent pas être déterminées sans cette information supplémentaire.
