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Sagot :
Pour résoudre l'équation \( \cos^2(x) - \sin^2(x) + 3\cos(x) + 2 = 0 \), nous pouvons utiliser les identités trigonométriques.
Remplaçons \(\cos^2(x) - \sin^2(x)\) par \(\cos(2x)\) (formule double angle) :
\[ \cos(2x) + 3\cos(x) + 2 = 0 \]
Maintenant, nous pouvons factoriser cette équation en utilisant une substitution. Posons \( u = \cos(x) \) :
\[ u^2 + 3u + 2 = 0 \]
Factorisons cette équation quadratique :
\[ (u + 1)(u + 2) = 0 \]
Les solutions pour \( u \) sont \( -1 \) et \( -2 \). Maintenant, réintroduisons \( \cos(x) \) :
\[ \cos(x) = -1 \quad \text{ou} \quad \cos(x) = -2 \]
Cependant, \(\cos(x)\) ne peut pas être égal à \(-2\). Donc, la seule solution valable est \(\cos(x) = -1\), ce qui se produit lorsque \( x = (2n + 1)\pi \), où \( n \) est un nombre entier.
En conclusion, les solutions de l'équation \( \cos^2(x) - \sin^2(x) + 3\cos(x) + 2 = 0 \) sont \( x = (2n + 1)\pi \), où \( n \) est un nombre entier.
Remplaçons \(\cos^2(x) - \sin^2(x)\) par \(\cos(2x)\) (formule double angle) :
\[ \cos(2x) + 3\cos(x) + 2 = 0 \]
Maintenant, nous pouvons factoriser cette équation en utilisant une substitution. Posons \( u = \cos(x) \) :
\[ u^2 + 3u + 2 = 0 \]
Factorisons cette équation quadratique :
\[ (u + 1)(u + 2) = 0 \]
Les solutions pour \( u \) sont \( -1 \) et \( -2 \). Maintenant, réintroduisons \( \cos(x) \) :
\[ \cos(x) = -1 \quad \text{ou} \quad \cos(x) = -2 \]
Cependant, \(\cos(x)\) ne peut pas être égal à \(-2\). Donc, la seule solution valable est \(\cos(x) = -1\), ce qui se produit lorsque \( x = (2n + 1)\pi \), où \( n \) est un nombre entier.
En conclusion, les solutions de l'équation \( \cos^2(x) - \sin^2(x) + 3\cos(x) + 2 = 0 \) sont \( x = (2n + 1)\pi \), où \( n \) est un nombre entier.
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