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Cliique
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Soit Un la suite défini par u0=1 et pour tout n entier naturel Un+1 = Un/(2Un+1)

Soit Vn la suite défini pr tt entier naturel n par Vn = 1/Un

On admet que pour tout entier naturel un est different de 0
1 la suite u est elle arithmetique ? et la suite Vn ?
2.Exprimer Vn en fonction de n
3.En deduire l'expression de Un en fonction de n
5.Etudier le sens de variation de la suite Un

Sagot :

Un+1-Un = Un/(1+2Un) - Un = Un(1/(1+2Un)-1) = Un(1-1-2Un)/1+2Un = -2Un²/(1+2Un)
On peut pas trouver de valeur constante en supposant Un = U0 + nr => Un n'est pas arithmétique

Vn+1 - Vn = 1/Un+1 - 1/Un = (1+2Un)/Un - 1/Un = 2Un/Un = 2
<=> Vn = V0 + 2n
<=> Un = 1/Vn = 1/(V0+2n)

Un+1/Un = 1/V(n+1) / 1/Vn = Vn/Vn+1 = (V0+2n)/(V0+2n+2) = (1+2n)/(3+2n)
Un+1/Un > 1 <=> 1+2n > 3+2n <=> 1 > 3
<=> Un est décroissante
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