Réponse:
1)
a) Pour démontrer que la fonction \(f\) est impaire, montrez que \(f(-x) = -f(x)\) pour tout \(x\) dans le domaine de définition de \(f\).
b) L'impairité signifie que la courbe est symétrique par rapport à l'origine. Interprétez graphiquement cette symétrie.
c) En raison de l'impairité, vous pouvez restreindre l'intervalle d'étude à \(x \geq 0\) pour simplifier l'analyse.
2)
a) Montrez que \(f(x + \pi) = f(x)\) pour démontrer que la fonction \(f\) est périodique, avec \(\pi\) comme période.
b) Les translations de la courbe qui laissent \(C\) inchangée sont de la forme \(C + a\), où \(a\) est une constante. Les translations sont donc de \(\pi\)-multiples.
c) L'intervalle d'étude peut être limité à \([0, \pi]\) en raison de la périodicité.
3) Utilisez la dérivée \(f'(x) = 8x\cos(2x)\) pour dresser le tableau de variations sur l'intervalle \([0, +\infty)\).
4) Vérifiez que l'équation de la tangente à la courbe \(C\) en \(x = 0\) est \(y = 8x\).
5) Construisez la courbe \(C\) sur l'intervalle \([-2\pi, 2\pi]\) en utilisant des tableaux de valeurs et tracez la tangente en \(x = 0\) avec l'équation \(y = 8x\).
