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Réponse :
Explications étape par étape :
A) Pour exprimer AE en fonction de x, nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle AEB. Selon le théorème de Pythagore, la somme des carrés des longueurs des côtés d'un triangle rectangle est égale au carré de la longueur de l'hypoténuse. Dans notre cas, nous avons :
AE² + EB² = AB²
Puisque EB est donné comme 3 cm, nous pouvons substituer cette valeur dans l'équation :
AE² + 3² = AB²
AE² + 9 = AB²
Ensuite, nous pouvons utiliser la relation entre AE et x pour exprimer AE en fonction de x :
AE = x
Maintenant, nous pouvons substituer AE par x dans l'équation précédente :
x² + 9 = AB²
Donc, l'expression de AE en fonction de x est x.
L'aire du carré AENM est simplement le carré de la longueur d'un de ses côtés. Puisque AE est donné comme x cm, l'aire du carré AENM est x² cm².
L'aire du rectangle ABCD est donnée par le produit de la longueur et de la largeur. La longueur du rectangle est AB, qui est également égale à AE + EB, soit x + 3 cm. La largeur du rectangle est MD, qui est donnée comme 4 cm. Donc, l'aire du rectangle ABCD est (x + 3) * 4 cm².
B) Pour développer et réduire la dernière égalité, nous devons utiliser les expressions que nous avons trouvées précédemment :
AE² + 9 = AB²
En substituant AB par x + 3, nous avons :
x² + 9 = (x + 3)²
Pour développer le carré du binôme (x + 3)², nous utilisons la formule :
(x + 3)² = x² + 2 * x * 3 + 3²
= x² + 6x + 9
Maintenant, nous pouvons réécrire l'équation :
x² + 9 = x² + 6x + 9
En simplifiant l'équation, nous pouvons annuler les termes x² et 9 de chaque côté :
0 = 6x
Donc, la dernière égalité simplifiée est 6x = 0.
C) Pour exprimer l'aire EBCDMN en fonction de x, nous devons calculer l'aire du rectangle EBCD et soustraire l'aire du carré AENM.
L'aire du rectangle EBCD est donnée par le produit de la longueur EB et de la largeur MD. EB est donné comme 3 cm et MD est donné comme 4 cm. Donc, l'aire du rectangle EBCD est 3 * 4 = 12 cm².
Pour trouver l'aire EBCDMN, nous devons soustraire l'aire du carré AENM (qui est x² cm²) de l'aire du rectangle EBCD (qui est 12 cm²). Donc, l'aire EBCDMN est égale à 12 - x² cm².