👤

Découvrez de nouvelles perspectives et obtenez des réponses sur FRstudy.me. Posez n'importe quelle question et obtenez une réponse détaillée et fiable de notre communauté d'experts.

Un jeu consiste à tirer successivement sans remise trois jetons d'un sac contenant 4 jetons bleus ; 3 jetons verts et 2 jetons roses; tous indiscernables au toucher. On désigne par Y la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le nombre de jetons verts obtenus. 1. Détermine les différentes valeurs prises par Y. 2. Détermine la loi de distribution de Y. 3. Calcule E(Y) et V(Y).​

Sagot :

Réponse :

1. Les différentes valeurs prises par Y sont 0, 1, 2 et 3.

2. La loi de distribution de Y est donnée par:

P(Y = 0) = nombre de façons d'obtenir 0 jeton vert / nombre total de façons de tirer 3 jetons = C(4,3) / C(9,3) = 4/84 = 1/21

P(Y = 1) = nombre de façons d'obtenir 1 jeton vert / nombre total de façons de tirer 3 jetons = C(3,1) * C(6,2) / C(9,3) = 18/84 = 3/14

P(Y = 2) = nombre de façons d'obtenir 2 jetons verts / nombre total de façons de tirer 3 jetons = C(3,2) * C(6,1) / C(9,3) = 18/84 = 3/14

P(Y = 3) = nombre de façons d'obtenir 3 jetons verts / nombre total de façons de tirer 3 jetons = C(3,3) / C(9,3) = 1/84

3. Pour calculer E(Y) (l'espérance de Y) :

E(Y) = 0 * P(Y = 0) + 1 * P(Y = 1) + 2 * P(Y = 2) + 3 * P(Y = 3)

     = 0 * (1/21) + 1 * (3/14) + 2 * (3/14) + 3 * (1/84)

     = 0 + 3/14 + 6/14 + 3/84

     = 3/14 + 3/14 + 1/28

     = 6/14 + 1/28

     = 12/28 + 1/28

     = 13/28

Donc E(Y) = 13/28.

Pour calculer V(Y) (la variance de Y) :

V(Y) = E(Y^2) - (E(Y))^2

E(Y^2) = (0^2) * P(Y = 0) + (1^2) * P(Y = 1) + (2^2) * P(Y = 2) + (3^2) * P(Y = 3)

         = 0^2 * (1/21) + 1^2 * (3/14) + 2^2 * (3/14) + 3^2 * (1/84)

         = 0 + 3/14 + 12/14 + 9/84

         = 3/14 + 12/14 + 1/12

         = 15/14 + 1/12

         = (15/14)*12/12 + 1/12

         = 180/168 + 1/12

         = 180/168 + 14/168

         = 194/168

(E(Y))^2 = (13/28)^2 = 169/784

V(Y) = (194/168) - (169/784)

      = (16256 - 2197) / 1568

      = 14059 / 1568

Donc V(Y) = 14059 / 1568.