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Explications étape par étape:
**1. Position relative des plans:**
Les équations des plans \(9\) et \(g'\) sont respectivement \(2x - 3y + 2z - 4 = 0\) et \(-2x + 3y - z = 0\).
Pour déterminer leur position relative, on peut calculer le produit scalaire des normales des plans. Si le produit est égal à zéro, les plans sont perpendiculaires. Si le produit est différent de zéro, les plans sont sécants.
Calculons les normales des plans:
- Plan \(9\): \(\mathbf{n_1} = \langle 2, -3, 2 \rangle\)
- Plan \(g'\): \(\mathbf{n_2} = \langle -2, 3, -1 \rangle\)
Le produit scalaire est \(2 \times (-2) + (-3) \times 3 + 2 \times (-1) = -4 - 9 - 2 = -15\), donc les plans sont sécants.
**2. Intersection de la droite et du plan:**
a) Pour le plan \(9\):
\[ x = k \]
\[ y = 1 - k \]
\[ z = 3 - k \]
Les coordonnées du point A sont \( (k, 1-k, 3-k) \).
b) Pour le plan \(g'\):
\[ x = k \]
\[ y = 1 - k \]
\[ z = 3 - k \]
Les coordonnées du point B sont également \( (k, 1-k, 3-k) \).
**3. Calcul de la distance AB:**
La distance entre les points A et B peut être calculée en utilisant la formule de distance euclidienne:
\[ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2} \]
**4. Justification que la distance AB n'est pas la plus courte distance entre les deux plans:**
La distance entre les plans est la distance verticale entre les points A et B le long de la normale commune aux plans. La distance verticale serait la différence entre les valeurs de \(z\) des points A et B. Comparer cette distance avec la distance AB calculée à la question 3 permettra de montrer que AB n'est pas la plus courte distance.