Bonjour ,
Pense à dire d'abord "Bonjour" et qq. chose comme "Merci de votre aide". OK ?
1)
f(x) est dérivable sur R car somme de fonctions dérivables sur R.
f '(x)=3(1/3)x²-2x-8
f '(x)=x²-2x-8
2)
f '(x) est négative entre ses racines car le coeff de x² est > 0.
Racines :
Δ=(-2)²-4(1)(-8)=36
√Δ=6
x1=(2-6)/2=-2
x2=(2+6)/2=4
Variation :
x------>-∞...................-2...................4.....................+∞
f '(x) --->..............+......0............-.......0...............+..........
f(x)--->.............C...........?.........D.......?...............C.......
C=flèche qui monte et D=flèche qui descend.
Je te laisse calculer et trouver :
f(-2)=28/3 et f(4)=-80/3
3)
a)
Tgte T en x=0 :
y=f '(0)(x-0)+f(0)
f '(0)=0-0-8=-8
f(0)=0
T ==> y=-8x
b)
On cherche le signe de :
g(x)=x³/3 - x² -8x-(-8x)
g(x)=x³/3-x²-8x+8x
g(x)=x³/3- x²
g(x)=x²(x/3 -1)
Donc g(x) s'annule pour x=0 et est du signe de (x/3-1).
x/3- 1 > 0 ==> x > 3
Tableau de signes :
x------>-∞.....................0.....................3......................+∞
g(x)-->............-.............0..........-...........0........+..................
Donc :
Pour x ∈]-∞;3[ , x³/3 - x² -8x-(-8x) ≤ 0 . Donc : x³/3 - x² -8x ≤ -8x et Cf sous T et a un point de tangence pour x=0 .
Pour x ∈]3;+∞[ , x³/3 - x² -8x-(-8x) > 0 . Donc : x³/3 - x² -8x > -8x et Cf au-dessus de T.
