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Claudehoury9
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Le plan est muni d'un repère orthonormé (O;I,J).
Soit x un réel, A(x; -4) et B(x +2;x).
1) Exprimer OA.OB en fonction de x.
2) Déterminer pour quelles valeurs de x le triangle OAB
est rectangle O.
3) Soit fla fonction définie sur R par f(x)=x2-2x.
a) Étudier les variations de f sur R.
b) En déduire pour quelle valeur de x le produit scalaire
OA.OB est minimal.
c) Déterminer alors une valeur arrondie à 0,1 radian près
de AOB.

Sagot :

Réponse:

1) Pour exprimer le produit scalaire OA.OB en fonction de x, utilisez les coordonnées des vecteurs OA et OB. Le produit scalaire est donné par \(OA \cdot OB = \vec{OA} \cdot \vec{OB} = (x, -4) \cdot (x+2, x)\).

2) Pour déterminer quand le triangle OAB est rectangle en O, vérifiez si le produit scalaire OA.OB est nul, car cela signifie que les vecteurs OA et OB sont orthogonaux.

3a) Pour étudier les variations de la fonction \(f(x) = x^2 - 2x\), dérivez f par rapport à x, puis examinez les signes de la dérivée sur R pour trouver les intervalles où la fonction est croissante ou décroissante.

3b) Pour trouver la valeur de x pour laquelle le produit scalaire OA.OB est minimal, utilisez la réponse de la question 1 et trouvez le minimum de la fonction associée.

3c) Pour déterminer l'angle AOB, utilisez la formule \( \cos(\theta) = \frac{OA \cdot OB}{\|OA\| \cdot \|OB\|} \) et trouvez la valeur de \(\theta\) en radians. Arrondissez à 0,1 radian près.

Croisierfamily

Réponse :

Explications étape par étape :

■ BONJOUR Malpoli !

■ 1°) OA . OB = x²+2x - 4x = x² - 2x .

■ 2°) il faut x² - 2x = 0 donc x = 0 OU x = 2 .

■ 3°) étude de f(x) = x² - 2x sur IR :

  3a) f ' (x) = 2x - 2 est nulle pour x = 1

        donc f est croissante pour x > 1 .

  3b) OA . OB est minimal pour x = 1 .

  3c) x = 1 donne A(1 ; -4) ; B(3 ; 1) ; et OA . OB = -1

        donc ||OA|| = √17 et ||OB|| = √10

        on doit alors résoudre :

        √17 * √10 * cosAÔB = -1

        d' où cosAÔB = -1/√170 ≈ -0,0766965

                       AÔB ≈ 94,4° ≈ 1,648 radian .

                          ↓

                   1,6 radian ( arrondi au dixième )

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