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Partie II: Tangente commune On considère les fonctions f et g définies f(x)=x² sur R et g(x) = ¹ sur R* X On appelle C, et C, les courbes représentative de f et g dans un repère du plan. g Soit a un réel quelconque. On appelle A le point d'abscisse a de Cf. Soit b un réel quelconque. On appelle B le point d'abscisse b de Cg. Déterminer, si elles existent, les valeurs de a et b pour lesquelles la droite (AB) est tangente à la fois à C, et à C₂. (on admettra dans cette question, que pour tout réel m, l'équation x³ = m admet sur R une unique solution x= 3√m) ​

Sagot :

Emilay1982

Réponse:

Pour déterminer les valeurs de \(a\) et \(b\) pour lesquelles la droite \((AB)\) est tangente à la fois à \(C_f\) et \(C_g\), il faut que les pentes des tangentes à \(C_f\) et \(C_g\) en \(A\) et \(B\) soient égales.

1. La pente de la tangente à \(C_f\) en \(A\) est donnée par la dérivée de \(f(x) = x^2\) évaluée en \(a\), soit \(f'(a) = 2a\).

2. La pente de la tangente à \(C_g\) en \(B\) est donnée par la dérivée de \(g(x) = \frac{1}{x}\) évaluée en \(b\), soit \(g'(b) = -\frac{1}{b^2}\).

Ainsi, pour que la droite \((AB)\) soit tangente à la fois à \(C_f\) et \(C_g\), il faut que \(2a = -\frac{1}{b^2}\).

En utilisant l'information donnée dans la question \(x^3 = m\) admet une unique solution \(x = \sqrt[3]{m}\), on peut dire que \(a = \sqrt[3]{m}\).

Substituant \(a = \sqrt[3]{m}\) dans l'équation \(2a = -\frac{1}{b^2}\), on obtient \(2\sqrt[3]{m} = -\frac{1}{b^2}\). En résolvant cette équation pour \(b\), on peut déterminer les valeurs de \(b\) correspondant aux valeurs de \(a\) qui satisfont la condition.

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