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On donne ci-dessous, dans le plan rapporté à un repère orthonormé, la courbe représentant la
fonction dérivée f' d'une fonction f dérivable sur R.
À l'aide de cette courbe, conjecturer, en justifiant les réponses :
1. Le sens de variation de la fonction f sur R.
2. La convexité de la fonction f sur R.
0
Courbe représentant la
dérivée f' de la fonction f.
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PARTIE II
On admet que la fonction f mentionnée dans la Partie I est définie sur R par :
f(x) = (x + 2)e-*.
On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (0; i,j).
On admet que la fonction f est deux fois dérivable sur R, et on note f' et f" les fonctions dérivées
première et seconde de f respectivement.
1. Montrer que, pour tout nombre réel x,
f(x)=x+2e-x.
En déduire la limite de fen + ∞o.
Justifier que la courbe C admet une asymptote que l'on précisera.
On admet que lim f(x) = -0.
2.
a. Montrer que, pour tout nombre réel x, f'(x) = (-x-1) e-*.
b. Étudier les variations sur R de la fonction f et dresser son tableau de variations.
c. Montrer que l'équation f(x) = 2 admet une unique solution a sur l'intervalle [-2; -1] dont
on donnera une valeur approchée à 10-¹ près.
3. Déterminer, pour tout nombre réel x, l'expression de f"(x) et étudier la convexité de la
