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Bonjour, j’avais un devoir maison à faire pour demain, j’aimerais si possible que quelqu’un me corrige si vous y voyez des fautes. Merci. Le dm : Problème
naturels
On définit la suite (Sn) telle que pour tout entier naturel n, Sn est la somme des n premiers entiers
1. Justifier pourquoi on a, pour tout entier naturel n, la relation Sn+1 = Sn + n + 1
2. Cette définition de la suite est-elle par récurrence ou explicite ?
3. On pose la fonction f: x →
112
x≥
Ex définie pour tout x de IR. Soit n un entier naturel
a. Calculez f (n)
b. Calculez f (n + 1)
4. Montrez que
f1 +1）-f（1）=1
f2+1）-f（2）=2
f（3+1） -f（3）=3
f（1+1）-f（2）=n
En additionnant toutes ces égalités, on obtient Sn à gauche et à droite tout s'élimine sauf f (n + 1) et /(1) d où la réponse Sn = f(n+ 1) - f(1)
5. Montrez que pour tout entier naturel n, Sn = (h+2). Mes réponses : 1. On a, pour tout entier naturel n, la relation Sn+1 = Sn + n+1 car Sn+1 représente la somme des n + 1 premiers entiers, qui est équivalente à la somme des n premiers entiers (Sn) plus n + 1.
2. Cette définition de la suite est explicite, car elle donne directement la formule de récurrence pour Sn+1 en termes de Sn.
3. a. f(n) = 112/n
b. f(n+1) =112/n+1
4. En ajoutant les égalités fournies, on obtient Sn à gauche et f(n + 1) - f(1) à droite.
5. En résultat de la manipulation, on obtient Sn = f(n + 1) - f(1). Donc, Sn= 112/n+1 - 112/1.
6. Pour montrer que Sn = (n + 2), vérifions: 112/n+1 - 112/1 = (n + 2) En simplifiant, on constate que l'équation est vérifiée, et donc Sn = (n + 2) pour tout entier naturel n.
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