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Sagot :
Réponse:
bonjour
Explications étape par étape:
Pour construire le tableau de variations de la fonction \( f \) définie sur \( (-2, 0) \) par \( f(x) = \frac{x^2 - 2}{x} \), nous devons suivre les étapes suivantes :
1. Trouver le domaine de définition de \( f \), c'est-à-dire les valeurs de \( x \) pour lesquelles \( f \) est définie. Dans ce cas, \( x \) ne peut pas être égal à zéro car cela rendrait la fonction indéfinie. Ainsi, le domaine est \( (-2, 0) \).
2. Trouver les points où la dérivée de \( f \) s'annule ou est indéfinie.
La dérivée de \( f(x) \) est donnée par :
\[ f'(x) = \frac{-x^2 + 4}{x^2} \]
\( f'(x) \) s'annule lorsque \( -x^2 + 4 = 0 \). Cela se produit lorsque \( x = -2 \) ou \( x = 2 \). Cependant, \( x = 2 \) n'appartient pas au domaine de \( f \), donc nous avons uniquement \( x = -2 \) comme point critique.
3. Identifier les intervalles délimités par les points critiques et les points de discontinuité. Dans ce cas, il y a un seul point critique, -2, et la discontinuité en \( x = 0 \) doit également être considérée.
Les intervalles sont \( (-2, 0) \) et \( (0, -\infty) \).
4. Sélectionner un point test dans chaque intervalle pour déterminer le signe de \( f'(x) \).
- Pour \( x \) dans \( (-2, 0) \), choisissons \( x = -3 \) (un nombre inférieur à -2). \( f'(-3) = \frac{-9 + 4}{9} < 0 \).
- Pour \( x \) dans \( (0, -\infty) \), choisissons \( x = -1 \) (un nombre entre -2 et 0). \( f'(-1) = \frac{-1 + 4}{1} > 0 \).
5. Construire le tableau de variations en indiquant les intervalles, les signes de \( f'(x) \) dans ces intervalles, puis déduire le sens de variation de \( f \).
\[ \begin{array}{c|ccc|c}
x & -2 & 0 & & \\
\hline
f'(x) & 0^- & \text{Indéfini} & + \\
\hline
f(x) & \text{max} & \text{discontinuité} & \text{min} \\
\end{array} \]
Le tableau indique que \( f \) est décroissante sur \( (-2, 0) \), atteint un maximum à \( x = -2 \), et est indéfinie en \( x = 0 \).
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