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Sagot :
Bonsoir Ghizo
[tex]\dfrac{5\pi}{12}=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{6}[/tex]
[tex]\cot(\dfrac{5\pi}{12})=\cot(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{6})\\\\\\=\dfrac{\cos(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{6})}{\sin(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{6})}\\\\\\=\dfrac{\cos(\dfrac{\pi}{4})\cos(\dfrac{\pi}{6})-\sin(\dfrac{\pi}{4})\sin(\dfrac{\pi}{6})}{\sin(\dfrac{\pi}{4})\cos(\dfrac{\pi}{6})+\cos(\dfrac{\pi}{4})\sin(\dfrac{\pi}{6})}[/tex]
[tex]=\dfrac{\dfrac{\sqrt{2}}{2}\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\times\dfrac{1}{2}}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\times\dfrac{1}{2}}\\\\\\=\dfrac{\dfrac{\sqrt{2}}{4}\times\sqrt{3}-\dfrac{\sqrt{2}}{4}\times1}{\dfrac{\sqrt{2}}{4}\times\sqrt{3}+\dfrac{\sqrt{2}}{4}\times1}\\\\\\[/tex]
[tex]=\dfrac{\dfrac{\sqrt{2}}{4}\times(\sqrt{3}-1)}{\dfrac{\sqrt{2}}{4}\times(\sqrt{3}+1)}\\\\\\=\dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}\\\\\\=\dfrac{(\sqrt{3}-1)\times(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)\times(\sqrt{3}-1)}\\\\\\=\dfrac{(\sqrt{3}-1)^2}{(\sqrt{3})^2-1^2}[/tex]
[tex]=\dfrac{3-2\sqrt{3}+1}{3-1}\\\\=\dfrac{4-2\sqrt{3}}{2}\\\\=\dfrac{2(2-\sqrt{3})}{2}\\\\=2-\sqrt{3}[/tex]
Par conséquent, [tex]\boxed{\cot(\dfrac{5\pi}{12})=2-\sqrt{3}}[/tex]
[tex]\dfrac{5\pi}{12}=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{6}[/tex]
[tex]\cot(\dfrac{5\pi}{12})=\cot(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{6})\\\\\\=\dfrac{\cos(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{6})}{\sin(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{6})}\\\\\\=\dfrac{\cos(\dfrac{\pi}{4})\cos(\dfrac{\pi}{6})-\sin(\dfrac{\pi}{4})\sin(\dfrac{\pi}{6})}{\sin(\dfrac{\pi}{4})\cos(\dfrac{\pi}{6})+\cos(\dfrac{\pi}{4})\sin(\dfrac{\pi}{6})}[/tex]
[tex]=\dfrac{\dfrac{\sqrt{2}}{2}\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\times\dfrac{1}{2}}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\times\dfrac{1}{2}}\\\\\\=\dfrac{\dfrac{\sqrt{2}}{4}\times\sqrt{3}-\dfrac{\sqrt{2}}{4}\times1}{\dfrac{\sqrt{2}}{4}\times\sqrt{3}+\dfrac{\sqrt{2}}{4}\times1}\\\\\\[/tex]
[tex]=\dfrac{\dfrac{\sqrt{2}}{4}\times(\sqrt{3}-1)}{\dfrac{\sqrt{2}}{4}\times(\sqrt{3}+1)}\\\\\\=\dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}\\\\\\=\dfrac{(\sqrt{3}-1)\times(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)\times(\sqrt{3}-1)}\\\\\\=\dfrac{(\sqrt{3}-1)^2}{(\sqrt{3})^2-1^2}[/tex]
[tex]=\dfrac{3-2\sqrt{3}+1}{3-1}\\\\=\dfrac{4-2\sqrt{3}}{2}\\\\=\dfrac{2(2-\sqrt{3})}{2}\\\\=2-\sqrt{3}[/tex]
Par conséquent, [tex]\boxed{\cot(\dfrac{5\pi}{12})=2-\sqrt{3}}[/tex]
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