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Sagot :
1/h_1=90 et h_2=81
2/ h_ n = 100 * 0.9 ^n.
3/ La balle demeure à moins de 20 cm du sol dès que h_n < 20.
On cherche donc le plus petit entier n tel que h_n < 20.
La suite h étant décroissante, Pour tout n ≥ 16 on a donc
h_n < 20. À partir du 16 ème rebond la balle restera à moins de 20 cm du sol.
4/ La balle rebondit 10 fois sur le sol.
Appelons P_0 le point d’où la balle est lâchée et S le point où elle touche le sol avant de rebondir.
Appelons P_i le sommet atteint après le i-ème rebond (pour 1 ≤ i ≤ 9).
La distance d parcourue par la balle depuis le lâcher jusqu’au moment où elle touche le sol pour la dixième fois est donnée pard = P_0 S + S P_1 +P_1 S + S P_2 + P_2 S + S P_3 + P_3 S + ……+ S P_9 +P_9 S.
On a donc d =h_0 + 2h_1+ 2h_2 + 2h_3 +......+ 2h_9.
d = h_0 + 2(h_1+h_2 +h_3 +......+h_9).
D’où d = 100 +1 800 (1− 0,9^9 ) = 1 202,6... (arrondi en cm à
1 203).La balle aura parcouru une distance égale à 12,02 m environ
avant de rebondir pour la dixième fois.
Une balle élastique est lâchée d’une hauteur de 100 cm au-dessus d’une table ; elle rebondit plusieurs fois.
On appelle hn la hauteur en centimètre du ne rebond, et h0 vaut 100. La hauteur atteinte à chaque rebond est égale 9/10 de la hauteur du rebond précédent.
1. Calculer h1, h2, h3 et h4.
h1 = h0*0,9 = 90cm
h2 = h1*0,9 = 81cm
h3 = h2*0,9 = 72,9cm
h4 = h3*0,9 = 65,61cm
2. Exprimer hn en fonction de l’entier n. Quelle est la nature de la suite ?
hn = h0*(0,9^n) <=> hn est une suite géométrique
3. Calculer à 10−2 près la hauteur du 10e rebond.
h10 = h0*(0,9)^10 = 34,87cm
4. A partir de quel rebond la hauteur deviendra-t-elle inférieure à 1 cm ?
hn < 1 <=> h0(0,9)^n < 1
<=> ln (h0*0,9^n) > ln 1
<=> ln(ho) + n*ln(0,9) > 0
<=> n > -ln(ho) / ln(0,9)
<=> n > -ln(100)/ln(0,9) = 43,7
<=> n >= 44
Partie B
A chaque rebond, la balle ne rebondit pas exactement au même endroit. La distance entre le premier rebond et le deuxième est de 10 cm , on appelle d1 cette distance. A chaque nouveau rebond, la distance parcourue vaut les 2/3 de la distance parcourue au rebond précédent. On considère la suite (dn) des distances entre chaque rebond. On appelle In la distance horizontale parcourue par la balle après n + 1 rebonds.
1. Quelle est la nature de la suite (dn)? Exprimer dn en fonction de n.
dn+1 = dn*2/3
<=> dn+1/dn = 2/3
<=> dn = d1(2/3)^n
<=> dn est géométrique
2. a. Calculer l1, l2, l3 et l4.
I1 = d1
I2 = d1 + d2
I3 = I2 + d3
I4 = I3 + d4
Je te laisse calculer : ça me fâche, les calculs
b. Exprimer ln en fonction de n.
In = somme de k=1 à n de dk = d1 * somme de k=1 à n de (2/3)^n
c. Calculer à 10−2 près la valeur de l10.
I10 = d1 ( 2/3 (1-2/3^10)/(1-2/3) ) = 19,65cm
3. Le premier rebond à lieu 28 cm du bord de la table et la balle se dirige droit sur lui, tombera- t-elle ?
In > 28 <=> d1(2/3(1-(2/3)^n)/(1-2/3)) > 28
<=> 20/3 (1-2/3^n) > 28/3
<=> 1-2/3^n > 28/20 = 14/10 = 1,4
<=> -(2/3)^n > 0,4
apparemment, elle ne tombera pas !
Si oui, après quel rebond ?
Cette question me suggère que j'ai fait une erreur.
4. À quelle distance du bord de la table, au moins, doit se situer le premier rebond pour que la balle ne tombe pas ?
//// Je vais manger, mais je reviens re-regarder ça ! ////
On appelle hn la hauteur en centimètre du ne rebond, et h0 vaut 100. La hauteur atteinte à chaque rebond est égale 9/10 de la hauteur du rebond précédent.
1. Calculer h1, h2, h3 et h4.
h1 = h0*0,9 = 90cm
h2 = h1*0,9 = 81cm
h3 = h2*0,9 = 72,9cm
h4 = h3*0,9 = 65,61cm
2. Exprimer hn en fonction de l’entier n. Quelle est la nature de la suite ?
hn = h0*(0,9^n) <=> hn est une suite géométrique
3. Calculer à 10−2 près la hauteur du 10e rebond.
h10 = h0*(0,9)^10 = 34,87cm
4. A partir de quel rebond la hauteur deviendra-t-elle inférieure à 1 cm ?
hn < 1 <=> h0(0,9)^n < 1
<=> ln (h0*0,9^n) > ln 1
<=> ln(ho) + n*ln(0,9) > 0
<=> n > -ln(ho) / ln(0,9)
<=> n > -ln(100)/ln(0,9) = 43,7
<=> n >= 44
Partie B
A chaque rebond, la balle ne rebondit pas exactement au même endroit. La distance entre le premier rebond et le deuxième est de 10 cm , on appelle d1 cette distance. A chaque nouveau rebond, la distance parcourue vaut les 2/3 de la distance parcourue au rebond précédent. On considère la suite (dn) des distances entre chaque rebond. On appelle In la distance horizontale parcourue par la balle après n + 1 rebonds.
1. Quelle est la nature de la suite (dn)? Exprimer dn en fonction de n.
dn+1 = dn*2/3
<=> dn+1/dn = 2/3
<=> dn = d1(2/3)^n
<=> dn est géométrique
2. a. Calculer l1, l2, l3 et l4.
I1 = d1
I2 = d1 + d2
I3 = I2 + d3
I4 = I3 + d4
Je te laisse calculer : ça me fâche, les calculs
b. Exprimer ln en fonction de n.
In = somme de k=1 à n de dk = d1 * somme de k=1 à n de (2/3)^n
c. Calculer à 10−2 près la valeur de l10.
I10 = d1 ( 2/3 (1-2/3^10)/(1-2/3) ) = 19,65cm
3. Le premier rebond à lieu 28 cm du bord de la table et la balle se dirige droit sur lui, tombera- t-elle ?
In > 28 <=> d1(2/3(1-(2/3)^n)/(1-2/3)) > 28
<=> 20/3 (1-2/3^n) > 28/3
<=> 1-2/3^n > 28/20 = 14/10 = 1,4
<=> -(2/3)^n > 0,4
apparemment, elle ne tombera pas !
Si oui, après quel rebond ?
Cette question me suggère que j'ai fait une erreur.
4. À quelle distance du bord de la table, au moins, doit se situer le premier rebond pour que la balle ne tombe pas ?
//// Je vais manger, mais je reviens re-regarder ça ! ////
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