Explications Ă©tape par Ă©tape:
Pour classer les fonctions suivantes selon leur variation sur R, nous devons examiner le coefficient de x dans chaque fonction. Voici la classification pour chaque fonction :
g(x) = 4x - 3 :
La fonction g(x) a un coefficient positif pour x (4), donc elle est croissante sur R.
h(x) = (-6x + 1) - 2(4x - 3) :
La fonction h(x) est une combinaison linéaire de deux fonctions (une linéaire et une constante). Le terme -6x + 1 a un coefficient négatif pour x (-6), donc il est décroissant. Le terme 4x - 3 est croissant. Donc, la fonction h(x) est une somme d'une fonction croissante et d'une fonction décroissante, elle est donc soit décroissante, soit constante. Pour déterminer sa variation réelle, il faut simplifier l'expression :
h(x) = (-6x + 1) - 2(4x - 3)
= -6x + 1 - 8x + 6
= -14x + 7
La fonction h(x) est donc décroissante sur R.
i(x) = 2(-6x + 1) + 3(4x - 3) :
Comme dans la fonction précédente, nous avons une somme de deux fonctions. Le premier terme -6x + 1 est décroissant, tandis que le deuxième terme 4x - 3 est croissant. La fonction i(x) est donc soit décroissante, soit constante. En simplifiant l'expression, nous obtenons :
i(x) = 2(-6x + 1) + 3(4x - 3)
= -12x + 2 + 12x - 9
= -7
La fonction i(x) est donc constante sur R.
j(x) = -3(-6x + 1) - (4x - 3) :
La fonction j(x) est une combinaison linéaire de deux fonctions. Les termes -6x + 1 et -4x + 3 ont des coefficients positifs pour x, donc ils sont tous deux décroissants. La fonction j(x) est donc la différence de deux fonctions décroissantes, elle est donc soit décroissante, soit constante. En simplifiant l'expression, nous obtenons :
j(x) = -3(-6x + 1) - (4x - 3)
= 18x - 3 - 4x + 3
= 14x
La fonction j(x) est donc croissante sur R.
k(x) = (-6x + 1) - 9x(4x - 3) :
Comme dans les cas précédents, nous avons une combinaison linéaire de deux fonctions. Le terme -6x + 1 est décroissant et le terme 4x - 3 est croissant. Cependant, le deuxième terme est multiplié par -9x, ce qui change sa variation. La fonction k(x) est donc une somme d'une fonction décroissante et d'une fonction dont la variation dépend de la valeur de x. Pour déterminer la variation réelle de k(x), il est nécessaire de simplifier l'expression :
k(x) = (-6x + 1) - 9x(4x - 3)
= -6x + 1 - 36x² + 27x
= -36x² + 21x - 6x + 1
= -36x² + 15x + 1
La fonction k(x) est donc une fonction quadratique dont la variation peut être déterminée en étudiant le coefficient du terme de degré 2 (-36x²). Si ce coefficient est positif, la fonction est décroissante, si c'est négatif, elle est croissante. En l'occurrence, -36 est négatif, donc la fonction k(x) est croissante sur R.
J'espère que cela t'aide ! Si tu as d'autres questions, n'hésite pas à demander !