Trouvez des réponses fiables à vos questions avec l'aide d'FRstudy.me. Notre communauté est prête à fournir des réponses détaillées et fiables, que vos questions soient simples ou complexes.
Réponse :
Explications étape par étape :
a) Le périmètre d'un L formé par deux rectangles identiques est donné par la somme des longueurs des côtés. Si x représente la largeur d'un rectangle, alors la longueur d'un rectangle est également x (puisque les rectangles sont identiques). Ainsi, le périmètre en mm du polygone est donné par f(x)=2x+2(x+2019/x)f(x)=2x+2(x+2019/x). Le domaine de définition de x est 1≤x≤201≤x≤20 (en mm).
b) Pour une largeur de rectangle de 50 mm, on substitue x=50x=50 dans l'expression de f(x)f(x):
f(50)=2(50)+2(50+201950)f(50)=2(50)+2(50+502019)
=100+2(50+40.38)=100+2(50+40.38)
=100+2(90.38)=100+2(90.38)
=100+180.76=100+180.76
=280.76 mm=280.76 mm
c) Pour trouver la largeur xx d'un rectangle de manière à obtenir un périmètre de 400 mm, on résout f(x)=400f(x)=400:
2x+2(x+2019x)=4002x+2(x+x2019)=400
2x+2x+2019x=4002x+2x+x2019=400
4x+2019x=4004x+x2019=400
4x2+2019=400x4x2+2019=400x
4x2−400x+2019=04x2−400x+2019=0
Ceci est une équation quadratique qu'on peut résoudre pour trouver xx.
d) La fonction dérivée f′(x)f′(x) de f(x)f(x) sur l'intervalle [1,200][1,200] est donnée par:
f′(x)=2−8076x2f′(x)=2−x28076
e) Pour étudier les variations de f(x)f(x), on examine le signe de sa dérivée. À partir de l'expression de f′(x)f′(x), on observe que f′(x)>0f′(x)>0 lorsque x<4038x<4038
et f′(x)<0f′(x)<0 lorsque x>4038x>4038
. Ainsi, f(x)f(x) est croissante sur [1,4038][1,4038
] et décroissante sur [4038,20][4038
,20].
f) Pour trouver les valeurs de xx qui minimisent et maximisent f(x)f(x), on recherche les valeurs critiques de f(x)f(x) en résolvant f′(x)=0f′(x)=0 dans l'intervalle [1,20][1,20]. Ensuite, on vérifie les valeurs de bord du domaine [1,20][1,20] et on compare toutes ces valeurs pour trouver le minimum et le maximum.