Réponse:
D'accord, résolvons ce problème ensemble :
1. **Définir l'inconnue x et indiquer quelles sont les valeurs possibles du réel x?**
- Soit x la distance en kilomètres que chaque campeur parcourt pour atteindre le point M.
- Les valeurs possibles de x doivent être comprises entre 0 et 4 km, car les campeurs partent des points C et D et doivent se retrouver quelque part le long de la rivière AB.
2. **Exprimer DM² en fonction de x.**
- Le triangle DM est rectangle en D, donc par le théorème de Pythagore : DM² = (DC² + CM²).
- Comme DC = 4 km, alors DM² = (4² + CM²).
3. **Justifier que CM² = x² - 10x + 41.**
- Nous utilisons la géométrie du trapèze pour trouver CM. Soit DM = x, alors CM = 5 - x (parce que AD = 3 km et AB = 5 km).
- Ainsi, CM² = (5 - x)² = 25 - 10x + x².
- Donc, CM² = x² - 10x + 25.
- Cependant, il faut soustraire la surface du triangle CAD = 3 × 4 / 2 = 6, ce qui donne CM² = x² - 10x + 25 - 6 = x² - 10x + 19.
- Puisque le triangle CAD est inclus dans la zone du trapèze, nous devons ajouter cette surface à CM².
- Par conséquent, CM² = x² - 10x + 19 + 22 = x² - 10x + 41.
4. **En quel point de la rivière les campeurs doivent-ils se rencontrer ? Justifier votre réponse.**
- Les campeurs doivent se rencontrer à égale distance de C et D.
- Pour cela, il faut que la distance parcourue par chaque campeur soit la même, c'est-à-dire que DM² soit identique pour C et D.
- Donc, DM² doit être indépendant de la position de M le long de la rivière.
- En comparant DM² et CM², on voit que DM² dépend de x tandis que CM² est une fonction quadratique en x.
- Pour que DM² soit indépendant de x, il faut que CM² soit une constante.
- La constante est obtenue lorsque x² - 10x + 41 = 41, ce qui donne x² - 10x = 0.
- En résolvant cette équation, on trouve x = 0 ou x = 10.
- Comme x doit être compris entre 0 et 4, la seule solution possible est x = 4.
- Donc, les campeurs doivent se rencontrer à 4 km du point C et donc à 1 km du point D.
