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Pour déterminer une approximation de la valeur de x pour laquelle le coût de fabrication de la boîte est minimal, nous devons établir une fonction de coût en fonction de x.
La boîte a la forme d'un parallélépipède rectangle, avec des côtés de longueurs x et 2x. La base a une aire de x * 2x = 2x² cm². La surface latérale a une aire de 2 * (x * 2x) + 2 * (x * 2x) + (x * 2x) = 10x² cm².
Le coût de fabrication de la base est de 5 euros par cm², donc le coût de fabrication de la base est de 5 * 2x² = 10x² euros.
Le coût de fabrication de la surface latérale est de 4 euros par cm², donc le coût de fabrication de la surface latérale est de 4 * 10x² = 40x² euros.
Le coût total de fabrication de la boîte est la somme du coût de fabrication de la base et du coût de fabrication de la surface latérale, soit 10x² + 40x² = 50x² euros.
Maintenant, nous devons trouver la valeur de x qui minimise cette fonction de coût. Pour cela, nous pouvons dériver la fonction par rapport à x, égaler la dérivée à zéro et résoudre l'équation.
La dérivée de 50x² par rapport à x est 100x. En égalant cela à zéro, nous avons :
100x = 0
Cela implique que x = 0.
Cependant, nous devons vérifier si cette valeur correspond à un minimum en utilisant le test de la dérivée seconde. La dérivée seconde de 50x² est 100. Si la dérivée seconde est positive, cela signifie que x = 0 correspond à un minimum.
Dans ce cas, la dérivée seconde est positive (100 > 0), ce qui confirme que x = 0 correspond à un minimum.
Donc, l'approximation de la valeur de x pour laquelle le coût de fabrication de la boîte est minimal est x = 0.
Il est important de noter que x = 0 signifie que la base de la boîte a une longueur de 0 cm, ce qui n'est pas réalisable dans la réalité. Il est probable qu'il y ait une erreur dans les données de l'énoncé ou dans le raisonnement utilisé.
Tu as de la chance que j'ai déja fait cette exercice dans mon cahier !